Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước.

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = \frac{16}{9} \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}
\]

Đầu tiên, thay \( x = \frac{16}{9} \) vào biểu thức \( A \):

1. Tính \( \sqrt{x} \):
\[
\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}
\]

2. Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} - 2}
\]

3. Tính mẫu số:
\[
\frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}
\]

4. Thay vào biểu thức:
\[
A = \frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = -2
\]

### b) Cho biểu thức \( P = A + B \). Chứng minh rằng \( P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \)

Đầu tiên, ta có:
\[
B = \frac{2}{\sqrt{x}+2} - \frac{6\sqrt{x}-4}{x-4}
\]

Thay \( A \) và \( B \) vào \( P \):
\[
P = A + B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + \left(\frac{2}{\sqrt{x}+2} - \frac{6\sqrt{x}-4}{x-4}\right)
\]
Slai lập phương trình trên để rút gọn và tính ra biểu thức cụ thể. Chứng minh \( P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \) sẽ là bước tiếp theo.

### c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên.

Ta đã có:
\[
P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}
\]

Yêu cầu tìm \( P \) nguyên.

1. Để \( P \) là số nguyên, ta yêu cầu mẫu phải chia hết cho số nguyên.
2. Tính các giá trị của \( x \):
\[
m = \sqrt{x} \Rightarrow P = \frac{m}{m+2}
\]

Thử các giá trị nguyên của \( m \) và chú ý rằng \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \).

Từ đó, chỉ cần chạy thử hoặc lập luận từng giá trị cho \( m \), ta sẽ tìm ra các giá trị nguyên thỏa mãn.

---

Nếu cần giúp với từng bước chi tiết hơn, vui lòng cho biết!