Để giải bài này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh ∆ABH = ∆ ACH và AH ⊥ BC:

1. **Dữ kiện**:
- AB = AC (Theo giả thiết).
- AH là tia phân giác của góc A, do đó ∠ABH = ∠ACH.

2. **Áp dụng định lý đồng dạng**:
- Ta có AB = AC, ∠ABH = ∠ACH.
- Do đó, hai tam giác ∆ABH và ∆ACH có hai cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau → ∆ABH ≅ ∆ACH.

3. **Chứng minh AH ⊥ BC**:
- Vì AH là tia phân giác của góc A, và AB = AC, nên AH sẽ cắt BC tại H sao cho ∠ABH = ∠ACH.
- Điều này cho thấy AH cũng là đường trung trực của BC (do tính chất của tia phân giác trong tam giác đều).
- Do đó, AH ⊥ BC.

### b) Chứng minh DE || BC:

1. **Vẽ HD ⊥ AB và EH ⊥ AC**:
- Theo định nghĩa, D thuộc AB, E thuộc AC sao cho HD ⊥ AB và EH ⊥ AC.
- Gọi giao điểm của AH và DE là I.

2. **Chứng minh DE || BC**:
- Ta biết AH là phân giác và DE là đường thẳng cắt AB, AC tại D, E theo chiều vuông góc.
- Do đó, ∠DHA = ∠EHA (vì cả hai góc đều bằng góc tại H).
- Theo định lý về hai đường thẳng song song bị cát bởi một đường thẳng, ta kết luận được DE || BC.

### c) Chứng minh CA = CK:

1. **Kẻ đường thẳng song song**:
- Qua C, bạn kẻ một đường thẳng song song với AB cắt tia AH tại K.

2. **Chứng minh CA = CK**:
- Vì CA và CK đều là hai đoạn thẳng trên một đường thẳng song song và có cùng chiều dài do cạnh tương ứng của tam giác ∆ABC, ta có thể kết luận rằng CA = CK.

Tóm lại, bằng cách sử dụng các định lý về tam giác, tia phân giác và tính chất song song, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.