Bài toán này yêu cầu chứng minh một vài đẳng thức hình học liên quan đến tam giác ABC và các điểm trên các đường thẳng vuông góc. Dưới đây là hướng dẫn giải cho từng phần trong bài:

### a) Chứng minh rằng BD = CE.

1. **Xét tam giác ABC**: Các góc nhọn cho biết nó có tất cả các cạnh đều nhỏ hơn chiều dài.
2. **Dùng tính chất của đường trung tuyến**: AM là trung tuyến từ A đến BC, nên nó chia BC thành hai đoạn bằng nhau.
3. **Chú ý đến các góc**: Từ tính chất vuông góc của AE và AD, cùng với các thông tin về cạnh và góc, có thể chứng minh rằng các đoạn BD và CE là bằng nhau thông qua các định lý về tam giác.

### b) Chứng minh rằng MN = MA và DE = AN.

1. **Tích cực theo chiều cao**: Chứng minh rằng nếu MN = MA thì đoạn thẳng DE cũng sẽ bằng AN thông qua các tính chất hình học của tam giác.
2. **Áp dụng lý thuyết hình học**: Sử dụng các định lý về đường trung tuyến và các tính chất hình học để hoàn thành chứng minh.

### c) Chứng minh rằng \( \frac{AD^2 + AE^2}{DI^2 + AE^2} = 1 \).

1. **Sử dụng hệ thức và định lý Pythagore**: Xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng AD, AE, DI và AE.
2. **Chuyển hóa và đơn giản hóa**: Thay thế các đoạn thẳng trong công thức và đơn giản hóa đến khi nhận được kết quả đề bài yêu cầu.

### Kết luận
Mỗi bước cần được thực hiện cẩn thận, có thể cần vẽ hình để hỗ trợ cho việc chứng minh. Nếu cần thêm chi tiết về từng phần, bạn có thể yêu cầu thêm.