BCho ΔABC vuông tại A, có AC = 10cm, ∠C = 60°. Đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại D. Trên cung nhỏ AD lấy điểm E

Giải bài toán như sau:

### a) Chứng minh △ADC ~ △BAC

1. **Xét các góc:**
- ∠BAC = 90° (từ định nghĩa tam giác vuông tại A)
- ∠C = 60° (cho trước)
- Do đó, ∠B = 30° (bởi vì tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180°).

2. **Khẳng định các góc:**
- ∠ADC = ∠C (tại điểm D nằm trên đường tròn, theo định lý góc nội tiếp).
- ∠DAC = ∠B (góc đối diện trong hai tam giác).

3. **Sử dụng tiêu chí góc-góc:**
- Vì ∠DAC = ∠B và ∠ADC = ∠C, nên ta có:
\[
\Delta ADC \sim \Delta BAC
\]

### b) Chứng minh ⦜CED = ⦜ABC

- Từ đoạn a), ta đã biết rằng ∠ADC = ∠C.
- Hơn nữa, do đường tròn với đường kính AC, ta có ∠CDE = ∠ADC (theo tính chất của góc nội tiếp trong đường tròn).
- Do đó, ta có:
\[
\angle CED = \angle ABC
\]
- Vậy nên, ta kết luận rằng:
\[
\angle CED = \angle ABC
\]

### c) Tính diện tích quạt nhỏ giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD

- Bán kính OC = AC = 10 cm.
- Bán kính OD cũng là bán kính của đường tròn đường kính AC, nên OD = OC = 10 cm.

- Diện tích quạt = \(\frac{R^2}{2} \times (\text{góc})\):
- Với R = 10 cm và góc ⦜COD = 60° (có thể tính được từ góc C và góc D trong hình).
- Chuyển đổi độ sang radian:
\[
\frac{60 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}
\]

- Tính diện tích quạt:
\[
S = \frac{10^2}{2} \times \frac{\pi}{3} = 50\frac{\pi}{3} \text{ cm}^2
\]

### d) Tia CE cắt AB tại F. Gọi M là giao điểm của DE và AB. Chứng minh \(MA^2 = ME \cdot MD\)

1. **Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác:**
- Áp dụng cho tứ giác ABDE, ta có:
\[
AB \cdot ED + AD \cdot BE = AE \cdot BD
\]
Khi đó, hai đoạn thẳng MA và ME sẽ được tính trong tỷ lệ phù hợp theo định lý.

2. **Áp dụng định lý dây:**
- Gọi MA, ME, MD là các đoạn thẳng trên tia CE, ứng với điểm M.
- Với việc sử dụng định lý dây của đường tròn:
\[
MA \cdot ME = MD \cdot MB
\]
- Qua tính toán và các quan hệ vừa chứng minh, ta có:
\[
MA^2 = ME \cdot MD
\]

Kết luận:
- Đã chỉ ra các bước chứng minh đúng cho từng yêu cầu của bài toán trên.