Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

### Câu 10:

#### a) Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.

Để chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ chứng minh rằng góc AHE = góc ADE.

- Mặt khác, trong tam giác ABC, từ định nghĩa hình chiếu, ta có:
- Góc AHE = góc DAB (do BD là đường cao).
- Góc ADE = góc EAB (do CE là đường cao).

Do BD và CE đều vuông góc với cạnh tương ứng, ta có:

\[
\angle AHE + \angle ADE = 90^\circ
\]

Vậy nên:

\[
\angle AHE + \angle ADE = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle AHE = \angle ADB
\]
Suy ra, bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn.

**Tâm của đường tròn** I là giao điểm của hai đường cao từ B và C trong tam giác ABC.

#### b) Chứng minh AH vuông góc BC. Cho góc A = 60°, AB = 6cm. Tính BD.

Ta chứng minh rằng AH vuông góc với BC bằng cách xét tính chất của tam giác. Theo định lý về đường cao trong tam giác:

- Tam giác ABC có góc A = 60° với AB = 6 cm;
- Do tam giác ABC có 3 góc nhọn, tam giác AHB và AHC đều vuông và sẽ có các góc tương ứng là 30°.

Bằng định lý sin trong tam giác ABH và ACH, ta có:

\[
\frac{AB}{\sin \angle AHB} = \frac{AH}{\sin \angle ABH}
\]
Trong đó:
- \(\angle AHB = 90^\circ\)
- \(AB = 6 \text{cm}\)
- \(\angle ABH = 30^\circ\)

Suy ra:

\[
AH = AB \cdot \sin(ABH) = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ cm}
\]

Để tính BD, ta áp dụng định lý Pythagore:

\[
BD = AB \cdot \sin \angle A = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

#### c) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD vuông góc ID.

Để chứng minh OD vuông góc ID, chúng ta có thể sử dụng tính chất của đường cao và trung điểm:

1. H là giao điểm của các đường cao, do đó, H nằm trên đường vuông góc với ID.
2. O là trung điểm của BC nên:
\[
OB = OC
\]

Và ta có:

- H là trực tâm của tam giác ABC, do đó đường thẳng OH vuông góc với BC (vì BC là đáy của tam giác MHB hay MHC tương ứng với các cạnh).

Vì O là trung điểm và OH vuông góc với BC, suy ra OD vuông góc với ID.

### Câu 11:

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

\[
(a + b)^2 \geq 0
\]

Ta có:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Vì \(a^2 \geq 0\) và \(b^2 \geq 0\) đối với mọi số thực, ta suy ra rằng \(a^2 + b^2 \geq 0\).

Vậy:

\[
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \geq 0
\]

Do đó, ta có được điều cần chứng minh.