Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Trên cạnh AD lấy điểm P sao cho AD = 3PD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC)

1. **Tìm tọa độ các điểm trong không gian:**
- Giả sử A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, b, 0), D(0, 0, c).
- Tọa độ điểm M (trung điểm AB): \( M \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) \)
- Tọa độ điểm N (trung điểm CD): \( N \left( 0, \frac{b}{2}, c \right) \)
- Tọa độ điểm P trên AD, với điều kiện \( AD = 3PD \): Gọi \( PD = x \), thì \( AD = 3x \) hay \( AP = 2x \). Vậy \( P(0, 0, 2x) \).

2. **Xác định phương trình mặt phẳng (MNP):**
- Sử dụng ba điểm M, N, P để xác định mặt phẳng MNP.
- Tìm véc tơ MN, MP và NP:
- \( \overrightarrow{MN} = \left( 0 - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} - 0, c - 0 \right) \)
- \( \overrightarrow{MP} = \left( 0 - \frac{a}{2}, 0 - 0, 2x - 0 \right) \)
- \( \overrightarrow{NP} = \left( 0 - 0, 2x - \frac{b}{2}, c - 0 \right) \)

- Tính tích có hướng của hai véc tơ để tìm phương trình mặt phẳng.

3. **Xác định phương trình mặt phẳng (ABC):**
- Với ba điểm A, B, C, ta cũng xác định được phương trình mặt phẳng này.

4. **Tính giao tuyến:**
- Giải hệ phương trình của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) để tìm giao tuyến.

### b) Gọi O là trung điểm của MN và I là trọng tâm của tam giác BCD

1. **Xác định tọa độ điểm O:**
- \( O = \left( \frac{\frac{a}{2} + 0}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{a}{4}, \frac{b}{4}, \frac{c}{2} \right) \)

2. **Xác định điểm I (trọng tâm BCD):**
- Điểm I là trung bình ba điểm B, C, D:
- \( I = \left( \frac{a + a + 0}{3}, \frac{0 + b + 0}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right) \)

3. **Chứng minh ba điểm A, O, I thẳng hàng:**
- Tính véc tơ AO và AI, kiểm tra xem chúng có tỷ lệ với nhau hay không.

Với các bước trên, bạn sẽ có thể giải bài toán theo yêu cầu. Nếu cần thêm chi tiết về các tính toán cụ thể, hãy cho tôi biết!