Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho B là trung điểm của AM

Gọi tọa độ điểm M là \( M(x, y) \). Vì B là trung điểm của đoạn thẳng AM, ta có công thức tính trung điểm như sau:

\[
B_x = \frac{A_x + M_x}{2} \quad \text{và} \quad B_y = \frac{A_y + M_y}{2}
\]

Với tọa độ các điểm:
- \( A(3, -1) \)
- \( B(-2, 5) \)

Thay vào công thức trên:

\[
-2 = \frac{3 + x}{2} \quad \Rightarrow \quad -4 = 3 + x \quad \Rightarrow \quad x = -7
\]

\[
5 = \frac{-1 + y}{2} \quad \Rightarrow \quad 10 = -1 + y \quad \Rightarrow \quad y = 11
\]

Như vậy, tọa độ điểm M là \( M(-7, 11) \).

### b. Tìm điểm C trên trục trung sao cho tam giác ABC cân tại C

Đầu tiên, tìm tọa độ điểm D, trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ D được tính bằng:

\[
D_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}
\]

\[
D_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

Vậy tọa độ điểm D là \( D\left(\frac{1}{2}, 2\right) \).

Để tam giác ABC cân tại C, điểm C cần nằm trên đoạn thẳng từ D, và hai độ dài \( AC \) và \( BC \) cần phải bằng nhau.

Xét điểm C có tọa độ \( C\left(\frac{1}{2}, y_C\right) \) trên trục trung. Để AB cân tại C, ta có:

\[
AC = BC
\]

Tính độ dài \( AC \) và \( BC \):

\[
AC = \sqrt{\left(3 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-1 - y_C\right)^2}
\]

\[
BC = \sqrt{\left(-2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(5 - y_C\right)^2}
\]

Điều kiện cân sẽ là:

\[
AC^2 = BC^2
\]

Phương trình này có thể được giải để tìm tọa độ \( y_C \).

Sau khi tính toán sẽ thu được giá trị của \( y \). Tuy nhiên, một điểm lưu ý là hai giá trị bất kỳ của y (trong trường hợp tam giác ABC) có thể đem lại giá trị cân. Bay giờ bạn có thể giải hệ phương trình đó hoặc đưa vào cụ thể bằng cách thực hiện phép tính cho từng giá trị của y, để tìm ra các giá trị cân.