Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By về cùng một phía với nửa đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \( A, C, M, O \) thuộc cùng một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và tam giác.

1. **Chứng minh góc tại O:**
- Điểm \( O \) là tâm của nửa đường tròn và hai đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \) là bán kính tại các tiếp điểm \( C \) và \( D \).
- Do tính chất của tiếp tuyến, góc \( OAC \) và \( OBD \) đều bằng \( 90^\circ \).

2. **Chứng minh góc tại điểm M:**
- Bởi vì \( M \) nằm trên nửa đường tròn, ta cũng có \( \angle AMC = 90^\circ \).
- Do đó, tam giác \( AMC \) có \( MC \) là đường cao từ \( M \) xuống \( AC \).

3. **Sử dụng định lý vòng tròn:**
- Theo định lý về đường tròn, nếu ba điểm trên một đường thẳng, thì chúng sẽ không thuộc cùng một đường tròn, ngược lại, nếu có một bốn điểm thoả mãn các tính chất trên, thì chúng sẽ thuộc cùng một đường tròn.

4. **Kết luận:**
- Các điểm \( A, C, M \) tạo thành một tam giác và điểm \( O \) là trung điểm của đoạn \( AC \).
- Do đó, bốn điểm \( A, C, M, O \) thuộc cùng một đường tròn với \( AMOC \) là một tứ giác nội tiếp.

Vậy đã chứng minh rằng bốn điểm \( A, C, M, O \) nằm trên cùng một đường tròn.