Để phân tích các mệnh đề trong bài toán, ta xét đồ thị hàm số bậc 2 có dạng \( y = ax^2 + bx + 2 \) với \( a \neq 0 \).

1. **Mệnh đề (a)**: Khi \( a = 1; b = -4 \) thì (P) có trục đối xứng là đường thẳng \( x = 2 \).
- **Sai**: Đối xứng của đồ thị hàm số bậc 2 là \( x = -\frac{b}{2a} \). Với \( a = 1, b = -4 \) ta có trục đối xứng là \( x = 2 \).

2. **Mệnh đề (b)**: Khi \( a = 1; b = -2 \) thì (P) có tọa độ đỉnh \( I(-1; 5) \).
- **Sai**: Tọa độ đỉnh \( I(x_I; y_I) \) được tính bằng \( x_I = -\frac{b}{2a} \) và \( y_I = f(x_I) \). Với \( a = 1, b = -2 \), trục đối xứng là \( x = 1 \) và giá trị của đỉnh là \( y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 \).

3. **Mệnh đề (c)**: Biết (P) đi qua hai điểm \( M(1; 0) \) và \( N(-1; 0) \), khi đó \( a + 2024b = -2 \).
- **Đúng**: Nếu (P) đi qua \( M \) và \( N \), thì phương trình bậc hai có hai nghiệm \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = -1 \). Từ đó, ta thiết lập được \( a + 2024b = -2 \).

4. **Mệnh đề (d)**: Biết (P) đi qua điểm \( E(2; 6) \) khi đó \( b = -2a - 3 \).
- **Sai**: Khi \( (2; 6) \) trên đồ thị, ta có phương trình \( 6 = 4a + 2b + 2 \). Khi giải phương trình này với điều kiện cho trước, không thể khẳng định được mối tương quan trên.

Tóm lại:
- (a): Đúng
- (b): Sai
- (c): Đúng
- (d): Sai