Để giải bài toán này, ta cần tìm hai số nguyên tố \( a \) và \( b \) thoả mãn các điều kiện sau:

1. \( 2^3 - b^2 = 2(4a - b) \)
2. \( a + 9 \equiv 0 \mod 6 \) và \( b + 2011 \equiv 0 \mod 6 \)

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

Ta bắt đầu từ phương trình:

\[
2^3 - b^2 = 2(4a - b)
\]

Giải thích nó:

\[
8 - b^2 = 8a - 2b
\]

Chuyển tất cả về một vế:

\[
b^2 - 2b + 8a - 8 = 0
\]

### Bước 2: Phân tích phương trình bậc 2

Phương trình này là phương trình bậc 2 theo \( b \). Để có nghiệm thực tế cho \( b \), xác định điều kiện của delta:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 8) = 4 - 32a + 32
\]
\[
\Delta = 36 - 32a
\]

Để phương trình có nghiệm thực, \( \Delta \) phải không âm:

\[
36 - 32a \geq 0 \Longrightarrow a \leq \frac{36}{32} = 1.125
\]

Vì \( a \) là số nguyên tố, khả năng duy nhất cho \( a \) là 1. Tuy nhiên, 1 không phải là số nguyên tố. Vậy ta xem xét lại mà thay thế bằng các số nguyên tố nhỏ hơn.

### Bước 3: Tìm số nguyên tố cho b

Thử lần lượt với \( a \):

#### Khi \( a = 2 \):

\[
\Delta = 36 - 32 \cdot 2 = 36 - 64 = -28 \text{ (không có nghiệm)}
\]

#### Khi \( a = 3 \):

\[
\Delta = 36 - 32 \cdot 3 = 36 - 96 = -60 \text{ (không có nghiệm)}
\]

#### Khi \( a = 5 \): (và kiểm tra các số nguyên tố tiếp theo)

...

Điều này có vẻ không khả thi, vì chúng ta không có nhiều số nguyên tố cho \( a \). Thay vào đó, ta kiểm tra trực tiếp với giá trị \( b \).

### Bước 4: Điều kiện thứ hai

Ta có các điều kiện:

- \( a + 9 \equiv 0 \mod 6 \) dẫn đến \( a \equiv 3 \mod 6 \) (Nghĩa là \( a = 3k + 3 \)).
- \( b + 2011 \equiv 0 \mod 6 \) dẫn đến \( b \equiv 1 \mod 6 \) (Nghĩa là \( b = 6m + 1 \)).

### Kết luận
Sau khi thử nghiệm với các giá trị nguyên tố nhỏ, ta có thể có:

- Kiểm tra lại từng cặp \( (a, b) \): dùng các số nguyên tố nhỏ hơn như 2, 3, 5...
- Tóm lại, thí nghiệm thực tế từ điều kiện sẽ giúp ta có chỉ số thỏa mãn.

Do đó, nên kiểm tra lại đầy đủ từng giá trị hơn hoặc có thể trình bày rõ hơn qua tính toán chi tiết từng bậc 2 và cập nhật số nguyên tố.

Xin lỗi vì không thể đưa ra đáp án cụ thể ngay lúc này.