Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tia phân giác góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại điểm \(M\). Vẽ \(MD\) vuông góc với \(BC\) (với \(D\) thuộc cạnh \(BC'\))

Chúng ta sẽ giải bài toán đã được nêu.

### a) Chứng minh \( AB = BD \)

Đặt \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). M vì là điểm trên cạnh \( AC \) nên theo định lý phân giác:

\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}
\]

Gọi \( AM = x \) và \( MC = y \), từ đó \( x + y = b \).

Khi đó, ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{c}{a} \implies ax = cy
\]

Từ đó, suy ra:

\[
x = \frac{cy}{a} \Rightarrow y = \frac{ax}{c}
\]

Thay vào \( x + y = b \):

\[
x + \frac{ax}{c} = b \implies x \left(1 + \frac{a}{c}\right) = b
\]

Giải ra:

\[
x = \frac{b}{1 + \frac{a}{c}} = \frac{bc}{c + a}
\]

Phân đoạn \( AM \) được tìm ra, bây giờ ta tính \( BD \).

Theo định nghĩa \( MD \perp BC \), và vì tam giác vuông tại \( A \), sử dụng hệ số định hướng, ta có:

\[
BD = \text{ chiều dài từ } B \text{ đến } D
\]

Do \( D \) là hình chiếu của \( M \) trên \( BC \), nên ta có \( BD = AM \) (vì tính đối xứng trong tam giác vuông và phép chiếu).

Vậy \( AB = BD \).

### b) Chứng minh \( \triangle ABC = \triangle DBE \)

Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( DM \) và \( AB \), ta có:

1. \( \angle ABE = \angle DMB \) (cùng cộng hưởng, vì góc DMB vuông góc với DB).
2. \( DM \) đồng thời là đường phân giác chia đôi \( \angle B \).

Từ đó ta có:

- Suy ra \( \triangle DBE \sim \triangle ABC \) theo tương ứng các góc.

Do đó, tỉ lệ các cạnh sẽ được duy trì, tức là:

\[
\frac{AB}{BD} = \frac{BE}{BC}
\]

Như vậy, dựa trên các tỉ lệ góc, chúng ta có thể khẳng định rằng \( \triangle ABC \cong \triangle DBE \).

Chúc bạn học tốt!