Để chứng minh bốn điểm \( A, H, K, C \) cùng thuộc một đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( A, H, K, C \) cùng thuộc một đường tròn:

Để chứng minh bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ chỉ ra rằng \( \angle AKC = \angle AHC \).

1. **Xét tam giác \( AHC \)**:
- \( AH \) là đường cao từ A xuống BC, nên \( \angle AHC = 90^\circ \).

2. **Xét tam giác \( ACK \)**:
- \( K \) là chân đường vuông góc từ \( C \) tới \( AD \), do đó \( \angle ACK = 90^\circ \).

3. **Nhận xét về góc**:
- Vì \( AD \) là đường kính của đường tròn \( O \), nên \( \angle AHC + \angle ACK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

4. **Suy ra**:
- Từ đó, ta có \( \angle AKC + \angle AHC = 180^\circ \).
- Do đó, điểm \( A, H, K, C \) cùng thuộc một đường tròn, theo tiêu chí ba điểm có cùng một góc.

### b) Chứng minh \( AEOM \cong AECK \) và \( \frac{MK}{OC} = \frac{EM}{EO} \):

1. **Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \)**:
- Theo giả thiết, ta có \( AM \) là đường cao, và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Chứng minh hai tam giác**:
- Ta có \( AE \) là đường vuông góc từ A đến BC.
- Hệ quả từ tan giác vuông \( AEC \) và \( AKC \) sẽ cho ta hai tam giác này đồng dạng, từ đó suy ra \( AEOM \cong AECK \).

3. **Tỉ lệ cạnh**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( MK = MC \).
- Từ đó, tỉ số các cạnh sẽ được xác định: \( \frac{MK}{OC} = \frac{EM}{EO} \).

### c) Chứng minh \( IM \) đi qua trung điểm của \( HK \):

1. **Gọi \( I \) là trung điểm của \( AC \)**:
- Do \( M \) cũng là trung điểm của \( BC \) và \( I \) là trung điểm của \( AC \).

2. **Xét đường thẳng \( HK \)**:
- Đường thẳng \( HK \) sẽ qua hai điểm là chân đường vuông góc từ \( C \) tới \( AD \).

3. **Suy ra**:
- Do \( H \) là điểm trên đường cao từ \( A \) và có tính chất đối xứng với \( AC \), nên \( IM \) sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( HK \).

Từ các bước trên, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.