Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành.

Ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Gọi \( E, G, F \) là các trung điểm của các đoạn \( AB, BC, AC \) tương ứng.

- **Bước 1: Chứng minh \( EI \parallel BF \)**

Theo giả thiết, đường thẳng \( EI \) được vẽ song song với \( BF \). Do đó, \( EI \parallel BF \).

- **Bước 2: Chứng minh \( BE = IF \)**

Ta sẽ chứng minh \( BE = IF \):
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AE = EB \).
- \( F \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AF = FC \).

Do đó, ta có:
\[
BE = EB \quad (1)
\]

- **Bước 3: Chứng minh \( EI = BF \)**

Khi \( EI \parallel BF \), và với sự tồn tại của góc corresponding, ta có:
\[
\angle BEI = \angle BFI \quad (2)
\]

Vì \( EI \parallel BF \) và \( E \) cùng nằm trên đường thẳng \( BE \), vậy \( \angle BIE = \angle BFI \).

Theo những điều trên, do \( BE \parallel IF \) và \( EI = BF \) nên \( BEIF \) là hình bình hành.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông.

Để tứ giác \( AGCI \) là hình vuông, chúng ta cần có:

1. **\( AG = AC \)** (điểm \( G \) là trung điểm của \( AC \))
2. **\( CI = AG \)** (điểm \( I \) thuộc đường thẳng \( GF \))
3. **2 góc của tứ giác phải là 90 độ**.

- **Bước 1: Điều kiện về độ dài**

Giả sử độ dài các cạnh của tam giác \( ABC \) lần lượt là:
- \( AB = b \)
- \( AC = a \)
- \( BC = c \)

Thì ta có:
\[
AG = \frac{a}{2}, \quad GC = \frac{c}{2}
\]

Theo tính chất của hình vuông, điều kiện cần là:
\[
AG = CI \quad (điều kiện 1)
\]

- **Bước 2: Điều kiện độ dài giữa các cạnh**

Các góc vuông được tạo thành tại \( G \) cũng cần chiều cao và độ dài để đảm bảo:
- Nếu \( ABC \) là tam giác vuông thì các cạnh liên kết như sau để tạo hình vuông:
- \( \angle AGC = 90^\circ \).
- \( CI \) phải bằng với \( AG \).

- **Bước 3: Kết hợp các điều kiện**

Từ \( AG = CI \) ta có thể dẫn tới:
- \( \frac{a}{2} \) và phải đảm bảo chiều dài này là bằng nhau.

**Điều kiện cụ thể** sẽ phụ thuộc vào mỗi loại hình vuông của tam giác. Nên phụ thuộc vào các đoạn trong bài toán có kích thước như thế nào.

### Kết luận

Tứ giác \( AGCI \) là hình vuông khi \( AB = AC \) và có góc vuông rộng \( 90^\circ \) tại các đỉnh trong tứ giác. Bên cạnh đó, cần đảm bảo các đoạn giữa các trung điểm thỏa mãn điều kiện hình vuông.

Tóm lại, các điều kiện này rất phụ thuộc vào vị trí và kích thước các cạnh của tam giác original và những tính chất liên kết của tam giác vuông.