Để chứng minh các phần của bài toán này, ta thực hiện như sau:

### a) Đường tròn đường kính AI đi qua K

1. **Đặt điểm và ký hiệu:**
- Xét tam giác ABC cân tại A, trong đó \( AB = AC \).
- AH là đường cao từ A đến cạnh BC, và BK là đường cao từ B đến cạnh AC. Hai đường cao này cắt nhau tại điểm I.
- Ai là trung điểm của đoạn thẳng AI.

2. **Xét tam giác AIK:**
- Theo định nghĩa, đường tròn đường kính AI có đường kính là đoạn thẳng AI.
- Ta áp dụng tính chất rằng một điểm nằm trên đường tròn đường kính thì góc đối diện với cạnh đường kính là góc vuông.

3. **Chứng minh góc KAI vuông:**
- Ta thấy rằng K nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Vì AM vuông góc với BK (đường cao), và I là giao điểm của AH và BK, nên góc KAI đã được thiết lập là góc vuông.
- Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng K nằm trên đường tròn đường kính AI.

### b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

1. **Xét điểm H:**
- Tương tự, vì HK là đường cao từ B đến AC nên HK vuông góc với AC.

2. **Chứng minh tiếp tuyến:**
- Theo định nghĩa về tiếp tuyến, HK sẽ là tiếp tuyến của đường tròn nếu góc HIH = 90 độ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính).
- Lúc này, I là điểm nằm bên trong đường tròn, mà HK vuông góc với AI tại I (do HK là đường cao). Do vậy, HK sẽ là tiếp tuyến tại điểm H.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán:

- Đường tròn đường kính AI đi qua điểm K.
- HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.