Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có độ dài đường trung đoạn SH = 2 cm và cạnh BC = 6 cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng tỏ rằng diện tích xung quanh hình chóp là 18 cm².

1. **Diện tích tam giác ABC:**
- Cạnh BC = 6 cm.
- Tam giác ABC là tam giác đều, nên độ dài các cạnh còn lại (AB, AC) cũng bằng 6 cm.
- Công thức tính diện tích tam giác đều là:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
- Áp dụng:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

2. **Diện tích xung quanh của hình chóp:**
- Diện tích xung quanh \(S\) (gồm 3 tam giác SAH, SBH, SCH).
- Với \(SH = 2\) cm, và mỗi cạnh đáy AB, AC có độ dài 6 cm.
- Diện tích của mỗi tam giác \(SAH, SBH, SCH\) có công thức:
\[
A_{SAH} = \frac{1}{2} \times AB \times SH = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6 \text{ cm}^2
\]
- Tương tự cho các tam giác SBH và SCH đều có diện tích 6 cm².
- Tổng diện tích xung quanh hình chóp:
\[
A_{xq} = 3 \times 6 = 18 \text{ cm}^2
\]

### b. Tính độ dài cạnh SC và diện tích mặt đáy ABC của hình chóp.

1. **SC:**
- Tam giác ABC là tam giác đều và SH vuông góc với mặt BC. Do đó, chúng ta sẽ tính độ dài SC bằng cách sử dụng định lý Pythagore.
- S là đỉnh, H là trung điểm của BC.
- Độ dài BH = HC = 3 cm (do BC = 6 cm).
- SC = \(\sqrt{SH^2 + HC^2}\) = \(\sqrt{2^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\) cm.

2. **Diện tích mặt đáy ABC:**
- Như đã tính ở phần a:
- Diện tích mặt đáy ABC = \(9\sqrt{3} \text{ cm}^2\).

### Tóm lại:
- Diện tích xung quanh hình chóp là 18 cm².
- Độ dài cạnh SC là \(\sqrt{13}\) cm.
- Diện tích mặt đáy ABC là \(9\sqrt{3} \text{ cm}^2\).