Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo các yêu cầu của đề bài.

### a) Chứng minh rằng \(\triangle AMB \cong \triangle AMC\) và \(AM \perp BC\)

1. **Cạnh chung**: \(AM\) là cạnh chung của hai tam giác.
2. **Cạnh bằng nhau**: \(AB = AC\) (điều kiện của tam giác vuông).
3. **Góc bằng nhau**: Góc \(AMB = AMC = 90^\circ\) (do tam giác ABC vuông tại A).

Vậy theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có \(\triangle AMB \cong \triangle AMC\).

### b) Chứng minh rằng \(\triangle ADF = \triangle CDE\) suy ra: \(AF \parallel CE\)

1. Từ A, ta có đường thẳng BD vuông góc với BC tại E. Do đó, \(AE \perp BC\).
2. Giả sử F là điểm sao cho \(DF = DE\).
3. Ta có:
- Cạnh chung: \(DE\).
- Cạnh bằng nhau: \(DF = DE\).
- Góc: \(\angle ADF = \angle CDE = 90^\circ\).

Vậy theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có \(\triangle ADF \cong \triangle CDE\) và suy ra \(AF \parallel CE\).

### c) Chứng minh rằng \(\triangle BAD \cong \triangle ACG\)

1. Từ C, dựng đường thẳng vuông góc với AC, cắt AE tại G.
2. Trong tam giác BAD và ACG:
- Cạnh chung: \(AD = AG\) (vì D và G đều là trung điểm).
- Cạnh bằng nhau: \(AB = AC\).
- Góc: \(\angle BAD = \angle ACG = 90^\circ\).

Do đó, \(\triangle BAD \cong \triangle ACG\).

### d) Chứng minh rằng \(AB = 2CG\)

Từ kết quả ở trên, ta thấy rằng \(AB\) và \(AC\) bằng nhau. Trong tứ giác BADG, ta đã chứng minh rằng \(BD\) song song với \(CG\) và với AB là cạnh của tứ giác.

Vì D là trung điểm của AC và G là trung điểm của AE, nên \(CG\) bằng một nửa của AB:

\[
AB = 2CG
\]

Kết quả chứng minh được các yêu cầu của bài toán.