Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng phần một cách lần lượt:

### Phần a)
1. **Chứng minh rằng MB vuông góc OD:**
- Ta biết rằng OA vuông góc với tiếp tuyến tại A, và OB vuông góc với tiếp tuyến tại B. Do đó, tam giác OAD vuông tại O.
- M vì là điểm thuộc đường tròn nên MB vuông góc với đường nối từ M đến O (vì MB là bán kính tại M).
- Từ đó, có hai cặp góc vuông:
- Góc OAD vuông (do tiếp tuyến tại A) và góc MBO vuông.
- Theo định lý góc vuông, MB vuông góc với OD.

2. **Chứng minh rằng MB // OC:**
- Xét tam giác OMC, ta có OC là tiếp tuyến tại M và MB là bán kính tại M nên MB vuông góc với OC.
- Nhà tiếp tuyến tại A và tia CM tạo thành một hình vuông với cạnh MB. Do đó, MB // OC.

### Phần b)
- **Gọi K là giao điểm của OD với (O):**
- Theo tính chất của giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn, ta có:
- Gọi các góc: \(\angle MBD\) và \(\angle KBD\).
- Vì OD là đường phân giác của góc MBD dựa vào chứng minh trước, ta có:
- \(\angle MBD = \angle KBD\), tức là BK là tia phân giác của góc MBD.

### Phần c)
- **Giả sử tứ giác OMKB là hình thoi:**
- Theo tính chất hình thoi:
- Chúng ta có OM = OK, MK = OB và MB = OK.
- Khi tứ giác OMKB là hình thoi, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng hai cạnh đối diện là bằng nhau, hơn nữa, vì BK là phân giác, do đó các điểm A, I, K sẽ thẳng hàng.
- Kết luận là A, I, K sẽ nằm trên một đường thẳng vì OM = OK (giả thiết của hình thoi) và các chiều dài này đã chỉ ra rằng tất cả điểm đều thẳng hàng.

**Tóm lại:**
- a) Đã chứng minh MB vuông góc với OD và MB // OC.
- b) BK là tia phân giác của MBD.
- c) Khi hình thoi được thiết lập, A, I, K là thẳng hàng.

Hy vọng giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài toán này!