Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức

\[
A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + 1}
\]

ta sẽ thực hiện một số bước như sau:

1. **Tìm mẫu số chung** cho hai phân thức trong dấu ngoặc.

Mẫu số chung của \(\sqrt{x} - 1\) và \(\sqrt{x} + 1\) là \((\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)\).

2. **Viết lại hai phân thức** với mẫu số chung:

\[
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

3. **Trừ hai phân thức**:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + 1}
\]

Đơn giản bên trong:

\[
\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1 = 2
\]

4. **Thay vào biểu thức**:

\[
A = \left( \frac{2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + 1}
\]

5. **Rút gọn**:

\[
A = \frac{2 \cdot 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2}
\]

Do đó biểu thức rút gọn là:

\[
A = \frac{4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2}
\]

Vậy là ta đã rút gọn được biểu thức.