Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một của đề bài.

### a) Chứng minh 4 điểm C, K, F, M cùng thuộc một đường tròn:

1. **Xác định các điểm**: Ta có đường tròn (O) với dây AB. Dây AB cắt đường kính CD tại K. D là điểm trên cung nhỏ AB, M là điểm trên cung nhỏ BC.
2. **Tính chất vuông góc**: Do CD vuông góc với AB tại K, suy ra góc CKD = 90°.
3. **Sử dụng định lý về góc nội tiếp**: Đối với các điểm C, K, F, M, ta có:
- AC và AD đều là bán kính của đường tròn, do đó CK = CKD = 90°.
- Theo định lý góc nội tiếp, góc CKF = 90° vì C nằm trên đường tròn khi AF là dây, và K là điểm giữa.
4. **Kết luận**: Do đó, bốn điểm C, K, F, M đều nằm trên một đường tròn (thực hiện một đường tròn đi qua bốn điểm này).

### b) Chứng minh DF.DM = AD²:

1. **Thực hiện véc tơ**: Gọi DF = x, DM = y và AD = R (bán kính).
2. **Áp dụng định lý đường vuông góc**: Từ tính chất về tam giác vuông CKD ta có:
- CKD là tam giác vuông tại K. Từ đó DF.DM = AD² - DK² (theo định lý Pythagoras).
3. **Sử dụng các tính chất hình học**: Xét hình chữ nhật DMKF, trong đó có:
- DF = AD - DK và DM = DK.
4. **Kết luận**: Do đó, DF.DM = AD * DK = AD².

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của đề bài.