Để tìm hai chữ số tận cùng của \( 2^{1999} \), chúng ta cần tính \( 2^{1999} \mod 100 \).

Chúng ta có thể sử dụng định lý Euler, theo đó nếu \( a \) và \( n \) là các số nguyên dương mà \( a \) và \( n \) cùng nguyên tố, thì:

\[
a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n
\]

với \( \phi(n) \) là hàm số phi Euler.

1. Tính \( \phi(100) \):
- \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
- \( \phi(100) = 100 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 40 \)

2. Sử dụng định lý Euler:
Vì \( 2 \) và \( 100 \) là cùng nguyên tố, nên:

\[
2^{40} \equiv 1 \mod 100
\]

3. Bây giờ chúng ta cần tính \( 1999 \mod 40 \):

\[
1999 \div 40 = 49 \quad \text{và dư } 39 \quad (\text{bởi vì } 49 \times 40 = 1960)
\]

Do đó:

\[
1999 \equiv 39 \mod 40
\]

4. Bây giờ chúng ta tính:

\[
2^{1999} \equiv 2^{39} \mod 100
\]

5. Để tính \( 2^{39} \mod 100 \), chúng ta có thể tính các lũy thừa của \( 2 \) modulo \( 100 \):

\[
\begin{align*}
2^1 & = 2 \\
2^2 & = 4 \\
2^3 & = 8 \\
2^4 & = 16 \\
2^5 & = 32 \\
2^6 & = 64 \\
2^7 & = 28 \quad (\text{bởi vì } 128 \mod 100 = 28) \\
2^8 & = 56 \\
2^9 & = 12 \\
2^{10} & = 24 \\
2^{11} & = 48 \\
2^{12} & = 96 \\
2^{13} & = 92 \\
2^{14} & = 84 \\
2^{15} & = 68 \\
2^{16} & = 36 \\
2^{17} & = 72 \\
2^{18} & = 44 \\
2^{19} & = 88 \\
2^{20} & = 76 \\
2^{21} & = 52 \\
2^{22} & = 4 \quad (\text{bởi vì } 104 \mod 100 = 4) \\
2^{23} & = 8 \\
2^{24} & = 16 \\
2^{25} & = 32 \\
2^{26} & = 64 \\
2^{27} & = 28 \\
2^{28} & = 56 \\
2^{29} & = 12 \\
2^{30} & = 24 \\
2^{31} & = 48 \\
2^{32} & = 96 \\
2^{33} & = 92 \\
2^{34} & = 84 \\
2^{35} & = 68 \\
2^{36} & = 36 \\
2^{37} & = 72 \\
2^{38} & = 44 \\
2^{39} & = 88 \\
\end{align*}
\]

Vậy:

\[
2^{1999} \equiv 2^{39} \equiv 88 \mod 100
\]

Kết quả là hai chữ số tận cùng của \( 2^{1999} \) là \( \boxed{88} \).