Để chứng minh rằng \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{101} + 3^{102} \) chia hết cho 12 và 13, ta có thể làm như sau:

### Bước 1: Tính tổng \( A \)

Biểu thức \( A \) là một cấp số nhân. Tổng của cấp số nhân có công bội \( r \) và \( n \) số hạng được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu.
- \( r \) là công bội.
- \( n \) là số hạng (cần chú ý rằng \( n \) ở đây là số hạng đếm được).

Ở đây:
- \( a = 3 \)
- \( r = 3 \)
- Số hạng cuối là \( 3^{102} \), nên số hạng tổng cộng là \( 102 - 1 + 1 = 102 \).

Do đó,

\[
A = 3 \frac{3^{102} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{103} - 3}{2}
\]

### Bước 2: Kiểm tra tính chia hết cho 12

Để \( A \) chia hết cho 12, ta cần \( 3^{103} - 3 \) chia hết cho 24 (vì \( 12 \times 2 = 24 \)).

**Xét \( 3^{103} \mod 8 \)**:
- Ta có \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \) nên \( 3^{103} = (3^2)^{51} \cdot 3 \equiv 1^{51} \cdot 3 \equiv 3 \mod 8 \).
- Vậy \( 3^{103} - 3 \equiv 3 - 3 = 0 \mod 8 \).

**Xét \( 3^{103} \mod 3 \)**:
- Rõ ràng, \( 3^{103} - 3 \equiv 0 \mod 3 \).

Vì \( 3^{103} - 3 \) chia hết cho 8 và 3 nên \( 3^{103} - 3 \) chia hết cho \( 24 \).

### Bước 3: Kiểm tra tính chia hết cho 13

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó, \( 3^{103} = 3^{12 \cdot 8 + 7} \equiv (3^{12})^8 \cdot 3^7 \equiv 1^8 \cdot 3^7 \mod 13 \).

Tính \( 3^7 \mod 13 \):
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \equiv 27 \equiv 1 \)
- \( 3^4 \equiv 3 \)
- \( 3^5 \equiv 9 \)
- \( 3^6 \equiv 1 \)
- \( 3^7 \equiv 3 \)

Vậy \( 3^{103} \equiv 3^7 \equiv 3 \mod 13 \) và do đó \( 3^{103} - 3 \equiv 0 \mod 13 \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng \( A = \frac{3^{103} - 3}{2} \) chia hết cho 12 và 13. Do đó, \( A \) chia hết cho \( 12 \) và \( 13 \).