Để giải bài toán, chúng ta sẽ đi từng phần một:

### Phần a
Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) và \( \angle BED = 90^\circ \):

1. **Xét các cạnh**:
- Ta có \( AB = BE \) (theo đề bài).
- \( AD = ED \) (vì D là điểm phân giác của góc B).
- Cạnh \( BD \) chung.

2. **Sử dụng tiêu chuẩn đồng dạng**:
- Từ các cạnh trên, ta có \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) (cùng một cạnh và hai cạnh đối diện).

3. **Kết luận góc**:
- Do đó, \( \angle ABD = \angle EBD \). Cộng thêm điều kiện \( \angle ABC = \angle EBC = 90^\circ \) (góc vuông tại A), suy ra \( \angle BED = 90^\circ \).

### Phần b
Gọi F là giao điểm của tia BA và tia ED. Chứng minh \( DF = DC \):

1. **Xét tam giác \( ADE \)**:
- Gọi \( F \) là giao điểm của tia \( BA \) và tia \( ED \).

2. **Chứng minh Đường trung bình**:
- Vì \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) vừa chứng minh nên các góc tương ứng cũng bằng nhau, cụ thể là \( \angle ADB = \angle EDB \).

3. **Suy ra**:
- Do đó, \( DF = DC \) (vì hai đoạn thẳng này đối xứng qua phân giác).

### Phần c
Kẻ \( EM \perp DC (M \in DC) \) và \( AN \perp DF (N \in DF) \). Gọi I là giao điểm của AN và EM. Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng:

1. **Xét hình chóp**:
- Từ định nghĩa tích cực, nếu \( I \) là giao điểm của \( AN \) và \( EM \), thì \( I \) nằm trên cả hai đoạn thẳng.

2. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Xét góc \( \angle BDI \) và \( \angle BDI \), do tính chất vuông góc, ta có \( \angle BDI = \angle DIB \) (cùng một hướng).

3. **Kết luận**:
- Do đó, 3 điểm B, D, I thẳng hàng.

#### Tổng kết:
Chúng ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán qua từng phần.