Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( 6 \) chia hết cho \( x - 1 \), ta có thể viết điều kiện này dưới dạng:

\[
x - 1 \mid 6
\]

Điều này có nghĩa là \( x - 1 \) là một trong các ước của \( 6 \). Các ước của \( 6 \) là:

\[
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
\]

Từ từng ước, ta sẽ tìm giá trị của \( x \) tương ứng:

1. Nếu \( x - 1 = 1 \) thì \( x = 2 \)
2. Nếu \( x - 1 = -1 \) thì \( x = 0 \)
3. Nếu \( x - 1 = 2 \) thì \( x = 3 \)
4. Nếu \( x - 1 = -2 \) thì \( x = -1 \)
5. Nếu \( x - 1 = 3 \) thì \( x = 4 \)
6. Nếu \( x - 1 = -3 \) thì \( x = -2 \)
7. Nếu \( x - 1 = 6 \) thì \( x = 7 \)
8. Nếu \( x - 1 = -6 \) thì \( x = -5 \)

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
x = 2, 0, 3, -1, 4, -2, 7, -5
\]