Để tìm cặp số tự nhiên \( (x, y) \) sao cho \( x^2 + 55 = y^2 \), ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

\[
y^2 - x^2 = 55
\]

Phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng:

\[
(y - x)(y + x) = 55
\]

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số tự nhiên \( (a, b) \) sao cho \( a \cdot b = 55 \), trong đó \( a = y - x \) và \( b = y + x \). Hai số \( a \) và \( b \) phải có cùng độ chênh lệch là một số chẵn (vì \( x \) và \( y \) là số tự nhiên, \( y - x \) và \( y + x \) phải có cùng độ chênh lệch), do đó \( a \) và \( b \) phải là số lẻ.

Các yếu tố của \( 55 \) là:

1. \( 1 \times 55 \)
2. \( 5 \times 11 \)

Ta sẽ xem xét từng cặp một:

1. **Với cặp \( (1, 55) \)**:
- \( y - x = 1 \)
- \( y + x = 55 \)

Giải hệ phương trình trên:
\[
y - x = 1 \quad (1)
\]
\[
y + x = 55 \quad (2)
\]

Cộng hai phương trình (1) và (2):

\[
2y = 56 \implies y = 28
\]
Thay \( y = 28 \) vào phương trình (1):
\[
28 - x = 1 \implies x = 27
\]

Vậy một cặp nghiệm là \( (27, 28) \).

2. **Với cặp \( (5, 11) \)**:
- \( y - x = 5 \)
- \( y + x = 11 \)

Giải hệ phương trình trên:
\[
y - x = 5 \quad (1)
\]
\[
y + x = 11 \quad (2)
\]

Cộng hai phương trình (1) và (2):

\[
2y = 16 \implies y = 8
\]
Thay \( y = 8 \) vào phương trình (1):
\[
8 - x = 5 \implies x = 3
\]

Vậy một cặp nghiệm khác là \( (3, 8) \).

Tóm lại, các cặp số tự nhiên \( (x, y) \) sao cho \( x^2 + 55 = y^2 \) là:

- \( (27, 28) \)
- \( (3, 8) \)