Cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm. AO cắt BC tại M

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

1) **Chứng minh OA là trung trực của đoạn BC**:

Gọi B, C là các tiếp điểm của tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O). Do AB và AC là các tiếp tuyến, nên chúng cắt (O) tại 90 độ. Từ đó, chúng ta có:
- \( OB \perp AB \)
- \( OC \perp AC \)

Do đó, \( OA \) là đường trung trực của đoạn BC, vì điểm A cách đều hai điểm B và C.

2) **Tính BM biết OM=2cm và AM=8cm**:

Dựa vào đoạn thẳng, ta có \( AM = AB + BM \). Do M nằm trên đoạn BC, theo lý thuyết trong tam giác, ta có:
\[
AM + BM = AB + BM
\]
Mà \( OM = 2 \) cm và \( AM = 8 \) cm, từ đó tìm BM:
\[
AB + BM = 8 \quad (1)
\]
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]
Từ đó, do tính chất của tam giác, sẽ có:
\[
BM = AB - OM \quad (2)
\]
Ghi nhớ rằng \( OM = 2cm \) và \( AB = AM - BM \).
Để tìm ra giá trị BM, bạn có thể xử lý lại cho phù hợp.

Tuy nhiên, nếu giải chi tiết hơn, bạn có thể thấy \( BM = AM - OM = 8 - 2 = 6 \) cm.

3) **Chứng minh \( OM \cdot OA = OG \cdot OH \)**:

Gọi G là trung điểm của EF. Theo định nghĩa, đường thẳng OG cắt BC tại H. Áp dụng tính chất của trung điểm cùng với tỉ lệ diện tích và chiều dài, dùng định lý Menelaus hoặc sự tương ứng tỉ lệ đường vuông góc, bạn có thể chứng minh được:

\( OM \cdot OA = OG \cdot OH \) bằng cách sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác tương ứng.

4) **Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)**:

Để chứng minh EH là tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh rằng góc EHO là 90 độ:
- Vì H nằm trên BC mà BC là tiếp tuyến từ E, nên khi EH là đường thẳng giao với đường tròn tại E thì ta có:
\[
OH \perp EH
\]
Hệ quả từ định nghĩa của tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn.

Do đó, EH là tiếp tuyến của (O) khi mà góc EHO = 90 độ.

Hy vọng những lý luận trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách mạch lạc hơn!