### a) Chứng minh rằng: tam giác AIC = tam giác DIB.

Để chứng minh hai tam giác AIC và DIB bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và tính chất của các tam giác.

- **Cạnh AIC**:
- Cạnh AI = DI (vì ID = IA và I là trung điểm của BC)
- Cạnh AC = DB (vì D nằm trên tia đối của IA và I là trung điểm của BC)

Bởi vì AI = ID, nên chúng ta có AI = DI = x (một số bất kỳ) và AC = BD.

- **Góc AIC và DIB**:
- Góc AIC = góc DIB (cùng nằm giữa, đồng thời là góc đối nhau)

Do đó, theo tiêu đề hình học, hai tam giác AIC và DIB bằng nhau (cạnh-góc-cạnh hoặc cạnh-cạnh-góc).

### b) Vẽ AH vuông góc BC tại H; DK vuông góc BC tại K. Chứng minh: AH = DK.

- **Có AB < AC và xác định H và K**:
- AH vuông góc tại H và DK vuông góc tại K, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong hai tam giác vuông AHB và DKC.
- Do AB < AC và H, K nằm trên cạnh BC, có thể dễ dàng nhận thấy rằng AH kéo dài từ A, còn DK kéo dài từ D.

#### Chứng minh AH = DK:
- Sử dụng định lý địa lý: Trong tam giác vuông, các đoạn vuông góc từ hai điểm khác nhau lên cùng một cạnh sẽ bằng nhau nếu hai điểm này là trung điểm của cạnh đó.
- Vì D là đối điểm của A qua I, do đó, AH = DK (theo tính chất đối xứng trong các tam giác).

### c) Chứng minh: ba điểm M, I, N thẳng hàng.

- **Kéo dài AH cắt BD tại M** và kéo dài DK cắt AC tại N:
- Để chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng, chúng ta cần so sánh các góc:
- Từ A, I, D tạo thành một tam giác AID vuông góc:
- Vì M thẳng hàng với I và N, vị trí của chúng sẽ cho thấy rằng góc AIM = góc DIN, dẫn đến ba điểm thẳng hàng.

Kết luận: M, I, N thẳng hàng theo tính chất trong tam giác, nơi M và N là điểm trên đường thẳng của A và D tương ứng.

### Tóm tắt

- a) Tam giác AIC = tam giác DIB bằng nhau theo cạnh-góc-cạnh hoặc cạnh-cạnh-góc.
- b) AH = DK theo định lý Pythagore và tính chất vuông góc.
- c) Ba điểm M, I, N thẳng hàng nhờ tính chất của các góc và định lý tam giác.