Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Giải thích tại sao tứ giác AEBM là hình thoi và tứ giác ACME là hình bình hành.

1. **Tứ giác AEBM là hình thoi**:
- Tứ giác AEBM bao gồm các đỉnh A, E, B, M.
- Ta biết rằng D là trung điểm của AB, tức là AD = DB.
- E được chọn sao cho DE = DM, và M là trung điểm của BC (vì AM là trung tuyến).
- Do đó, DE = DM cho thấy rằng khi DE (từ D đến E) có chiều dài bằng với DM (từ D đến M), có nghĩa là các đoạn thẳng DE và DM đã tạo nên một hình đối xứng qua trung điểm D.
- Từ đó, ta luận ra rằng:
- AE = BE (cùng chiều dài).
- AM = BM (AM và BM đều bằng nhau vì M là trung điểm BC).
- Điều này chứng tỏ rằng AB = AE = BE = AM = BM. Do đó, tứ giác AEBM có bốn cạnh bằng nhau, tức là hình thoi.

2. **Tứ giác ACME là hình bình hành**:
- Tứ giác ACME có các đỉnh A, C, M, E.
- Ta biết rằng M là trung điểm của BC và D là trung điểm của AB.
- Do đó, AC // ME và AE // CM (vì AC và ME đều song song và AE cũng song song với CM, do tính chất của các trung điểm và điều kiện vuông tại A).
- Vậy nên, tứ giác ACME có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau, chứng tỏ ACME là hình bình hành.

### b) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Để tứ giác AEBM trở thành hình vuông, ta cần thỏa mãn hai điều kiện:
1. Tất cả các cạnh của AEBM phải bằng nhau (điều này đã được chứng minh trong phần a).
2. Các góc trong tứ giác AEBM đều phải là góc vuông.

Để đảm bảo rằng AEBM là một hình vuông, ta có thể yêu cầu rằng góc AEB = 90 độ. Vì AEBM là hình thoi, nếu ta có cả điều kiện về cạnh và điều kiện góc thì tứ giác này mới trở thành hình vuông.

**Điều kiện cụ thể**:
- Với tam giác vuông ABC, để AEBM trở thành hình vuông, góc AEB phải bằng 90 độ.
- Điều này có thể xảy ra khi điểm C nằm trên đường thẳng song song với AB mà M là trung điểm BC và tạo góc vuông tại A.

Nói cách khác, tam giác ABC cần phải có hình dáng phù hợp để đảm bảo rằng tứ giác AEBM có mọi cạnh bằng nhau và tạo thành các góc vuông.