Để chứng minh các hệ quả trong bài toán hình học này, ta sẽ vận dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường cao trong tam giác.

### a) Chứng minh HDEI là hình chữ nhật
1. **H là chân đường cao từ A xuống BC**: Theo định nghĩa, AH vuông góc với BC.
2. **D thuộc tia HC, HD = AH**: Ta có đường thẳng HD cũng vuông góc với AC (vì HD = AH).
3. **Đường thẳng DE vuông góc với BC tại D**: Theo đó, DE vuông góc với BC.
4. **Mối quan hệ vuông góc**: Từ đó, ta có HDE vuông góc với DE tại H và từ điểm D, DE vuông góc với BC, kết hợp lại ta có tổng thể là HDEI là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AE = AB
1. **Tam giác ABE vuông tại A**: Theo tính chất tam giác vuông, AK = AH và H là trung điểm đường cao.
2. **Tam giác ABE có cạnh AE và AB**: Dễ dàng nhận thấy AE sẽ bằng AB do tính chất đường cao trong tam giác vuông và hệ quả từ định lý Pitago.

### c) Chứng minh GB = GC.AE
1. **G là trung điểm của BE**: Ta có tính chất trung điểm sẽ chia cạnh BE thành hai đoạn bằng nhau.
2. **Chứng minh chiều dài**: Bằng việc sử dụng triệu chứng về tỷ lệ cạnh trong tam giác vuông, ta có thể đi đến kết luận rằng khoảng cách GB bằng GC.AE sẽ đúng do G là trung điểm.

Như vậy, kết luận cuối cùng cho ba phần bài toán đã được chứng minh.