Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính độ dài đoạn thẳng ME.

**Cho trước:** \(\angle A = 90^\circ\) và \(4C = 8 \text{ cm}\). Từ đó ta suy ra \(C = 2 \text{ cm}\).

Gọi \(A\) là điểm \(A(0, 0)\), \(B\) là điểm \(B(a, 0)\) và \(C\) là điểm \(C(0, b)\) trong hệ tọa độ. Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có:
- Độ dài \(AB = a\)
- Độ dài \(AC = b\)

Ta có thể tìm được các tọa độ của các điểm:
- \(E\) là trung điểm của \(AB\): \(E \left( \frac{a}{2}, 0 \right)\)
- \(M\) là trung điểm của \(BC\): \(M\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)\)

Bây giờ ta tính độ dài đoạn thẳng \(ME\):
- Độ dài đoạn \(ME\) được tính bằng công thức:
\[
ME = \sqrt{(x_M - x_E)^2 + (y_M - y_E)^2}
\]
Thay tọa độ của \(M\) và \(E\) vào công thức:
\[
ME = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b}{2}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \(ME = \frac{b}{2}\).

### b) Chứng minh \(AEMF\) là hình chữ nhật.

Để chứng minh \(AEMF\) là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau và có độ dài bằng nhau, đồng thời các góc của nó là \(90^\circ\).

1. **Tính tọa độ của \(F\):**
- \(F\) là trung điểm của \(AC\):
\[
F\left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

2. **Xét các cạnh:**
- Đoạn \(AE\):
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Đoạn \(MF\):
\[
MF = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}
\]

Do đó, \(AE = MF\).

3. **Đoạn \(EM\) và \(AF\):**
- Đoạn \(EM\):
\[
EM = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \frac{b}{2}
\]
- Đoạn \(AF\):
\[
AF = \sqrt{\left(0 - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \frac{b}{2}
\]

Do đó, \(EM = AF\).

4. **Kiểm tra góc:**
- \(AE\) và \(AF\) đều nằm trên trục \(x\) và trục \(y\), nên cho góc \(AEF = 90^\circ\).
- Tương tự, góc \(EMF = 90^\circ\).

Như vậy, \(AEMF\) có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và có độ dài bằng nhau, lại có các góc bằng \(90^\circ\). Do đó, \(AEMF\) là hình chữ nhật.

### Kết luận:
- Đoạn \(ME = \frac{b}{2}\).
- Hình \(AEMF\) là hình chữ nhật.