Về bài toán cho tam giác ABC vuông tại A với các hình chiếu của H trên AB và AC, chúng ta sẽ tiến hành từng bước để giải quyết các câu hỏi trong bài.

### a. Chứng minh AEHD là hình chữ nhật

Để chứng minh AEHD là một hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cạnh AD và EH bằng nhau và song song với hai cạnh AE và DH.

1. **Tính chất vuông góc**:
- Do H là chân đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH vuông góc với BC.
- D là hình chiếu của H trên AB, do đó HD vuông góc với AB.
- E là hình chiếu của H trên AC, do đó HE vuông góc với AC.

2. **Chúng ta có**:
- AD vuông góc với AE (vì AB vuông góc với AC) và EH vuông góc với AC (theo định nghĩa hình chiếu).
- Thêm vào đó, ta nhận thấy rằng vì H nằm trong tam giác, nên các các cạnh AD và HE đều bằng nhau (nếu tính theo độ dài từ A đến hai đường thẳng này).

Kết luận, AEHD là hình chữ nhật vì nó có 4 góc vuông và hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### b. Tính BC và DE

1. **Tính BC**:
- Theo định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính DE**:
- Ta biết rằng DE là độ dài đoạn thẳng giữa hai hình chiếu của H. Ta có thể sử dụng tính chất của đường cao.
- Ta có BH = 3.6 cm và AC = 8 cm. Theo định lý tỉ lệ, ta có:
\[
DE = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

### c. Chứng minh AM vuông góc với DE

Để chứng minh AM vuông góc với DE, ta thực hiện như sau:

1. **Tìm điểm M**:
- M là trung điểm của đoạn BC, do đó:
\[
M \text{ nằm giữa } B \text{ và } C.
\]

2. **Chứng minh vuông góc**:
- Ta biết AH vuông góc với BC và do đó AH sẽ tạo với đường thẳng DE một góc 90 độ.
- Vì D và E là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC, mà AB và AC tạo thành một góc vuông ở A, do đó các đoạn thẳng AM và DE cũng sẽ vuông góc với nhau.

Kết luận: AM vuông góc với DE, do đó ta đã chứng minh xong yêu cầu c.

---

Hình vẽ minh họa cho bài toán sẽ có hình dạng một tam giác vuông ABC tại A, với H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. D và E là các hình chiếu của H lên AB và AC. M nằm giữa BC với đoạn DE nằm vuông góc.

Hy vọng rằng những phần giải thích trên đây sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu và giải bài. Chúc bạn học tốt!