Chứng minh tứ giác AHEF là hình chữ nhật và OA = OF

Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

**a)** Để chứng minh tứ giác \( AHEF \) là hình chữ nhật và \( OA = OF \):

1. \( HE \) vuông góc với \( AB \) nên \( \angle AHE = 90^\circ \).
2. \( HF \) vuông góc với \( AC \) nên \( \angle AHF = 90^\circ \).
3. Vậy \( \angle EHF = 180^\circ - \angle AHE - \angle AHF = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ \), tức là \( E, A, F \) thẳng hàng.
4. Chúng ta có \( AH \) là đường cao, \( H \) nằm trên \( BC \), và vì vậy, \( H \) là giao điểm của các đường thẳng vuông góc từ \( E \) và \( F \) đến \( AB \) và \( AC \).
5. Vì \( AHE \) và \( AHF \) đều có góc vuông, tứ giác \( AHEF \) là hình chữ nhật.

Để chứng minh \( OA = OF \):

1. Vì \( E \) là điểm trên \( AB \) và \( F \) là điểm trên \( AC \), có \( AH \) là đường trung bình.
2. Khi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \) (hình chữ nhật), thì \( OA \) và \( OF \) đều nằm ở khoảng cách từ \( O \) đến \( HE \) và \( HF \) phân chia thành các đoạn bằng nhau do tính chất đối xứng của hình chữ nhật.

**b)** Chúng ta sẽ chứng minh các phần b1 và b2.

**b1)** Chứng minh \( DB = AK \):

1. Vì \( M \) là trung điểm của \( DK \) nên \( DM = MK \).
2. Từ đó ta có \( DB = DM + MB \).
3. Do \( M \) là trung điểm của đoạn \( AB \), suy ra \( MB = \frac{1}{2}AB \).
4. Trong tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AH \), có \( AK = \frac{1}{2} AC \) và \( DB \) tương đương về khoảng cách do vị trí của các điểm.
5. Từ đó ta có \( AK = DB \).

**b2)** Chứng minh tứ giác \( HIFE \) là hình thang cân:

1. Ta đã có \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \) vì vậy \( \angle HEF = \angle HFE \) đều bằng \( 90^\circ \).
2. Từ điểm \( H \), kẻ \( HI \) vuông góc với \( AM \). Ta cần chứng minh rằng \( HIFE \) là hình thang cân, tức là \( HI \) song song với \( EF \).
3. Nếu như \( AM \) là trung tuyến chia đoạn \( EF \) thành hai phần bằng nhau thì \( HI \) cũng sẽ song song với \( EF \) nhờ tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông.
4. Do đó, \( HIFE \) là hình thang với hai cạnh đáy \( HI \) và \( EF \) bằng nhau.

Tóm lại:

- Tứ giác \( AHEF \) là hình chữ nhật và \( OA = OF \).
- \( DB = AK \) và tứ giác \( HIFE \) là hình thang cân.