Để chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với góc vuông tại \( A \), đường cao \( AH \) chia \( \Delta ABC \) thành hai tam giác vuông là \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACH \).

1. **Hình chiếu của H trên cạnh AB và AC:**
- \( D \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \), tức là \( HD \perp AB \).
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \), tức là \( HE \perp AC \).

2. **Tính chất của hình chữ nhật:**
- Để chứng minh \( AEHD \) là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh \( AD \) vuông góc với \( AE \).
- Theo tính chất hình chiếu, ta có \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \). Do đó, \( AD \) và \( AE \) cũng vuông góc với nhau, vì \( D \) và \( E \) lần lượt là điểm hình chiếu của \( H \) lên hai cạnh này.
- Do đó, \( \angle A = 90^\circ \) chứng tỏ rằng tứ giác \( AEHD \) có tất cả các góc vuông.

=> Vậy tứ giác \( AEHD \) là hình chữ nhật, vì nó có 4 góc vuông.

### b) Tính BC, DE

1. **Tính BC:**
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính DE:**
- Tính độ dài của \( DE \) bằng phương pháp hình chiếu:
- Trong tam giác vuông \( \Delta ABH \), \( DE \) là hình chiếu của \( AH \) trên \( AB \) và \( AC \):
- Tại \( D \) và \( E \), ta có:
\[
DE = AH \cdot \frac{AB}{BC} = BH \cdot \frac{AC}{BC} = 3,6 \cdot \frac{8}{10} = 2,88 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh AM vuông góc DE

1. **Gọi M là trung điểm của BC:**
- Ta có trung điểm \( M \), do đó \( AM \) sẽ là tia nối từ \( A \) đến \( M \).

2. **Chứng minh \( AM \perp DE \):**
- Do \( H \) là hình chiếu của \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
- Gọi \( H' \) là hình chiếu của \( H \) lên \( DE \).
- Theo tính chất đường cao và hình chiếu:
- Ta có \( AH \perp DE \) và \( AM \) sẽ cũng nằm trên đường cao của tam giác.

=> Do đó, \( AM \) vuông góc với \( DE \).

Kết luận, đã chứng minh xong cả 3 phần của bài toán.