Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho biểu thức \( x^2 - 8x^2 + 2x \) chia hết cho \( x^2 + 1 \), trước tiên ta sẽ đơn giản hóa biểu thức.

Biểu thức được viết lại như sau:

\[
x^2 - 8x^2 + 2x = -7x^2 + 2x
\]

Ta cần kiểm tra điều kiện

\[
\frac{-7x^2 + 2x}{x^2 + 1} \text{ là số nguyên.}
\]

Ta sẽ thực hiện phép chia một cách tổng quát. Trong phép chia đa thức, ta có thể viết:

\[
-7x^2 + 2x = Q(x)(x^2 + 1) + R(x).
\]

Trong đó, \( Q(x) \) là thương và \( R(x) \) là phần dư. Bởi vì bậc của \( R(x) \) phải nhỏ hơn bậc của \( x^2 + 1 \) (bậc 2), thì \( R(x) \) có dạng \( ax + b \).

Mang \( ax + b \) vào:

\[
-7x^2 + 2x = Q(x)(x^2 + 1) + ax + b.
\]

Ta hiện có bậc cao nhất của \( -7x^2 \) ở bên trái, nên

\[
Q(x) = -7.
\]

Từ đó, ta có:

\[
-7(x^2 + 1) = -7x^2 - 7.
\]

Bây giờ, thế vào phương trình:

\[
-7x^2 + 2x = -7x^2 - 7 + ax + b.
\]

So sánh các hệ số, ta nhận được:

1. \( ax - 7 = 2x \) \( \Rightarrow a - 7 = 2 \) \( \Rightarrow a = 9. \)
2. \( b + 7 = 0 \) \( \Rightarrow b = -7. \)

Vậy phần dư \( R(x) = 9x - 7 \).

Biểu thức \( -7x^2 + 2x \) chia hết cho \( x^2 + 1 \) khi và chỉ khi

\[
9x - 7 = 0.
\]

Giải phương trình này ta có:

\[
9x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{9}.
\]

Tuy nhiên, \( x \) không phải là số nguyên.

Như vậy, không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện \( x^2 - 8x^2 + 2x \) chia hết cho \( x^2 + 1 \).

Kết luận: Không tồn tại số nguyên \( x \) nào sao cho \( -7x^2 + 2x \) chia hết cho \( x^2 + 1 \).