Đây là một bài toán hình học khá hay, liên quan đến tam giác vuông, đường cao, đường trung tuyến và các tính chất hình học khác. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần:

a) Chứng minh AE = DM:

Vì M là trung điểm của BC (AM là trung tuyến), nên MB = MC.
Xét tam giác vuông ABM, MD là đường cao (M là hình chiếu của M trên AB), suy ra MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của tam giác vuông ADB. Do đó, AD = DB.
Tương tự, xét tam giác vuông ACM, ME là đường cao, suy ra ME là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông AEC. Do đó, AE = EC.
Ta có: AD + DB = AB và AE + EC = AC. Vì AD = DB và AE = EC nên AD = AB/2 và AE = AC/2.
Mà AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BC/2.
Xét tam giác vuông AHD và tam giác vuông DME có:
Góc ADH = góc EDM (cùng phụ góc HDM)
AD = DM (cùng bằng AB/2)
Góc HAD = góc MED (cùng bằng 90 độ) => Tam giác vuông AHD = tam giác vuông DME (cạnh huyền - góc nhọn) => AE = DM (hai cạnh tương ứng)
b) Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân:

Vì MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, mà AB ⊥ AC (tam giác ABC vuông tại A), nên MD // AC và ME // AB.
Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Trong hình chữ nhật ADME, ta có AD = ME và AE = MD.
Vì ADME là hình chữ nhật nên góc ADE = góc AED = 90 độ.
Ta đã chứng minh được AE = MD ở câu a.
Vì ADME là hình chữ nhật nên DM // AE => DM // HE => DHME là hình thang.
Vì ADME là hình chữ nhật nên góc DME = 90 độ.
Xét tam giác vuông AHD và tam giác vuông DME (chứng minh ở câu a), ta có góc AHD = góc DME = 90 độ, AD = ME, AE = MD => Góc ADH = góc DEM => Góc HDM = góc HEM => Hình thang DHME có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
c) Chứng minh AK ⊥ KN:

Vì M là trung điểm của NE, và ME ⊥ AC, nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng NE. Suy ra AN = AE.
Vì ADME là hình chữ nhật nên AM = DE.
Vì tam giác AHD = tam giác DME (câu a) nên AH = ME
Xét tam giác AKE và tam giác NKE có
EK chung
AE = AN (cmt)
Góc AKE = góc NKE = 90 độ => tam giác AKE = tam giác NKE (c.g.c) => AK = NK => Tam giác AKN cân tại K
Mặt khác, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và EK vuông góc với BC tại K => AH // EK => Góc HAK = góc AKE = 90 độ (hai góc so le trong)
Vì tam giác AKN cân tại K, mà góc AKN = 90 độ (do AK=NK, tam giác AKN vuông cân tại K) => AK vuông góc KN