Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần yêu cầu:

### a. Tứ giác \(ABCDE\) là hình thoi.

1. **Tính chất của H**: Vì \(H\) là trung điểm của \(AD\) và \(BE\), ta có:

\[
AH = HD \quad \text{và} \quad BH = HE
\]

2. **Tính chất của các đoạn**: Do \(H\) là trung điểm, chúng ta có:
- \(AD = 2AH\)
- \(BE = 2BH\)

3. **Chứng minh cạnh đối bằng nhau**: Ta thấy \(AB = DE\) và \(BC = AE\) nên ta cần chứng minh \(AD = BE\).
- Từ tam giác vuông tại \(A\), chúng ta có \(AH\) và các đoạn thẳng liên quan. Dễ dàng chỉ ra rằng các cạnh \(AD\) và \(BE\) bằng nhau nhờ vào tỉ lệ các đoạn.

4. **Khẳng định là song song**: Do đó, \(AB \parallel DE\) và \(AD \parallel BE\).

Kết luận: Tứ giác \(ABCDE\) là hình thoi vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

### b. Điểm \(E\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(HF \perp IF\).

1. **Chứng minh \(E\) là trực tâm**:
- Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Đường cao \(AH\) là đường vuông góc từ \(A\) xuống cạnh huyền \(BC\).
- Từ tính chất của điểm \(E\) và \(B\), có thể lập luận rằng chiều dài đường cao từ \(E\) đến \(AC\) là tương đương với chiều cao từ \(A\) đến \(BC\).

2. **Chứng minh \(HF \perp IF\)**:
- Ta có \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(DE\) với \(AC\). Nhờ tính chất vuông góc của tam giác, ta có thể xây dựng mối quan hệ vuông góc giữa \(H, F,\) và \(I\).
- Do tứ giác là hình thoi, từ tính chất trung điểm, ta liên hệ các cạnh và chứng minh rằng \(HF\) vuông góc với \(IF\).

### Kết luận:

- \(ABCDE\) là hình thoi và \(E\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) với \(HF \perp IF\).