Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng bước:

**a)** Chứng minh tam giác BHA = BDH và tia BC là tia phần giác của góc ABD.

1. **Chứng minh tam giác BHA = BDH:**
- Ta có: AH vuông góc với BC (định nghĩa của đường cao).
- HD = HA (theo đề bài).
- Như vậy, ta có:
- AH = HD (cùng là độ dài đường cao).
- ∠BHA = ∠BDH (cùng là góc vuông).
- Do đó, theo dấu hiệu Giống nhau (G-G-G), ta có:
\[\triangle BHA \cong \triangle BDH.\]

2. **Chứng minh tia BC là tia phần giác của góc ABD:**
- Vì H là điểm trên BC và AH vuông góc với BC, nên góc BHA là góc vuông.
- Do đó, AB nằm trên cùng một mặt phẳng với tia BD và BC, làm cho tia BC là tia phần giác của góc ABD.

**b)** Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M.

Vì AD là đường vẽ từ A đến D (có thể là một đường thẳng hoặc đường thẳng), nên bằng định lý về hình bình hành ta có:

- Nếu AD // AB, và cắt BC tại M thì sẽ có:
- ∠ADM = ∠BAM (cùng nằm trong tam giác ABD).
- Dễ dàng thấy rằng AD cắt BC tại một điểm, ký hiệu là M.

**c)** Chứng minh rằng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM.

1. **Giải thích:**
- Gọi O là trung điểm của BM (điểm cần chứng minh).
- AD vuông góc với BM nếu \(\angle ADM = \angle BMA\).

2. **uTính chiều dài và góc:**
- Bởi vì AD // AB, và M nằm trên BC, ta có:
- Dựa vào hằng đẳng thức về những cây cung (điểm giữa của đoạn).
- AD cắt phương BC chính giữa tại M.

**d)** Vẽ đường thẳng CN vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng ba điểm C, N, D thẳng hàng.

1. **Chứng minh ba điểm C, N, D thẳng hàng:**
- Nếu CN vuông góc với AM, điều này có nghĩa là góc CND = 90 độ (N nằm giữa C và D).
- Bởi vì AD // AB, và cho từ vị trí của D, C, N, được xác định là nằm trên một đường vuông góc với AM, và hai góc ở C và D là tương ứng.

2. **Kết luận:**
- Như vậy, cùng một mặt phẳng và bằng chứng trên cho thấy ba điểm C, N, D là thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần theo yêu cầu của đề bài.