Đây là một bài toán hình học khá hay, kết hợp nhiều kiến thức. Dưới đây là lời giải chi tiết:

Đề bài: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của HA và HC.

a) Chứng minh MN // AC:

Trong tam giác AHC, M là trung điểm HA, N là trung điểm HC. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại.

Vậy MN // AC.

b) Chứng minh BMND là hình bình hành:

Ta có:

• MN // AC (chứng minh trên) mà AC // BD (theo đề bài), suy ra MN // BD. (1)
• Xét tam giác AHC, N là trung điểm HC. Kẻ NP // AC (P thuộc AH). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, P là trung điểm AH. Mà M cũng là trung điểm AH (giả thiết), suy ra P trùng M. Vậy NP chính là MN.
• NP là đường trung bình của tam giác AHC nên NP = 1/2 AC. Suy ra MN = 1/2 AC.
• Mà BD = 1/2 AC (giả thiết), suy ra MN = BD. (2)

Từ (1) và (2), tứ giác BMND có MN // BD và MN = BD. Vậy BMND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

c) Chứng minh góc AND = 90 độ:

Gọi I là trung điểm của AD.

• Trong tam giác AHD, M là trung điểm AH, I là trung điểm AD, suy ra MI là đường trung bình của tam giác AHD. Do đó MI // HD và MI = 1/2 HD.
• Trong hình bình hành BMND, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi O là giao điểm của BN và MD. Suy ra O là trung điểm của cả BN và MD.
• Xét tam giác BND, O là trung điểm BN, I là trung điểm AD. Suy ra OI là đường trung bình của tam giác BND. Do đó OI // BD và OI = 1/2 BD.
• Ta có BD // AC và MN // AC (chứng minh trên), suy ra BD // MN. Mà OI // BD, suy ra OI // MN.
• Vì MN // AC và AH ⊥ AC (giả thiết), suy ra MN ⊥ AH.
• Ta có MI // HD, mà HD ⊥ AN (do AH là đường cao trong tam giác vuông ABC), suy ra MI ⊥ AN.
• Xét tam giác AND, ta có MI là đường trung tuyến (I là trung điểm AD) và MI ⊥ AN. Theo tính chất đường trung tuyến vừa là đường cao thì tam giác đó cân, suy ra tam giác AND cân tại N.
• Ta có MN // AC. Mà trong tam giác vuông AHC, trung tuyến HN bằng một nửa cạnh huyền AC (tính chất tam giác vuông). Do đó HN = AN = CN = 1/2 AC.
• Vì MN // AC nên góc MNA = góc NAC.
• Trong tam giác vuông AHC, HN là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên HN = 1/2 AC. Mà AN = NC = 1/2AC. Suy ra HN = AN = NC.
• Xét tam giác AHN cân tại N (do NA = NH) có NM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NM vuông góc AH.
• Xét tam giác AND có trung tuyến NI. Do NI = IA = ID = AD/2 nên tam giác AND vuông tại N. Vậy góc AND = 90 độ.