Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng bước một:

### a) Chứng minh IJ ⊥ EF và IJ // OA.

1. **Chứng minh IJ // OA:**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AH \) và \( J \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
- \( AI = IH \) (từ định nghĩa trung điểm).
- \( BJ = JC \) (cũng từ định nghĩa trung điểm).
- Xét tam giác \( AHB \):
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp, ta có \( OA \) là đường cao từ \( O \) đến cạnh \( BC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AH \), và do tính chất của trung điểm, đường thẳng \( IJ \) sẽ song song với đường thẳng đi qua cùng một điểm và vuông góc với cạnh bên (tức là \( OA \)).
- Suy ra \( IJ \parallel OA \).

2. **Chứng minh IJ ⊥ EF:**
- Theo định nghĩa, \( EF \) là đường thẳng đi qua hai điểm \( E \) và \( F \) (giao điểm của các đường cao).
- Bởi vì \( I \) và \( J \) nằm trên đoạn \( AH \) và \( BC \) (cũng là các cạnh chứa điểm cao), chúng ta có thể áp dụng tính chất của các đường vuông góc và song song để chứng minh rằng \( IJ \) sẽ vuông góc với \( EF \) (do đường thẳng đi qua các trung điểm của hai đoạn thẳng vuông góc).
- Từ đó, chúng ta có \( IJ \perp EF \).

### b) Chứng minh \(\frac{QE}{QF} = \frac{KE}{KF}\).

1. Gọi \( K \) là giao điểm của \( EF \) với \( BC \) và \( Q \) là giao điểm của \( AD \) với \( EF \). Ta cần thực hiện chứng minh về tỉ số.
2. Sử dụng định lý cổ điển về tỉ số đoạn thẳng (định lý Menelaus hoặc Thales):
- Ta có thể áp dụng định lý Menelaus trong tam giác \( BCF \) với đường thẳng \( EQK \) thì:
- Ta có:
\[
\frac{QE}{QF} = \frac{KE}{KF} \Rightarrow \text{sẽ được chứng minh thông qua tỉ lệ và giao điểm.}
\]

### c) Chứng minh H, P, J thẳng hàng.

1. Gọi đường thẳng chứa tia phân giác góc \( FHB \) cắt \( AB \) tại \( M \), \( AC \) tại \( N \).
2. Gọi \( P \) là giao điểm của tia phân giác góc \( CAB \) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \( AMN \).
3. Từ tính chất giao điểm của tia phân giác và tính chất của đường tròn ngoại tiếp có thể cho thấy rằng các điểm \( H, P, J \) thẳng hàng bằng cách sử dụng định lý tỉ số đoạn thẳng.
4. Khẳng định các điểm \( H, P, J \) thẳng hàng sẽ được chứng minh nhờ áp dụng các tỉ số liên quan từ các góc, các đoạn thẳng sao cho các điểm này nằm trên một đường thẳng.

Tùy thuộc vào cách chứng minh chi tiết và sơ đồ hình học kèm theo, các kết quả và tính chất có thể được chứng minh rõ ràng hơn.

Trên đây là những chỉ dẫn tổng quát cho bài toán. Chi tiết minh họa cùng sự tính toán sẽ giúp sáng tỏ hơn kết luận.