Cho hình chóp S-ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, cạnh bên BC = √5, hai đáy AB = 11, CD = 7. Mặt phẳng (α) song song với (ABCD) và cắt cạnh SO tại I sao cho 2SO = 5S1. Tính diện tích thiết diện tạo bới mặt phẳng (α) và hình chóp

Để tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\) và hình chóp \(S-ABCD\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính chiều cao của hình chóp**:
Đối với hình thang cân \(ABCD\) với \(AB = 11\), \(CD = 7\) và \(BC = \sqrt{5}\), ta cần tính chiều cao của hình thang \(h\). Chiều cao \(h\) có thể tính từ cạnh đáy:
\[
h = \sqrt{BC^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - \left(\frac{11 - 7}{2}\right)^2} = \sqrt{5 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1
\]

2. **Xác định chiều cao \(SO\)**:
Gọi \(SO = h_S\). Từ câu đề bài, có \(2SO = 5S1\) mà \(S1\) là khoảng cách từ đỉnh \(S\) đến mặt phẳng \((\alpha)\). Giả sử \(S1 = m\), ta có:
\[
2h_S = 5m \implies m = \frac{2}{5} h_S
\]

3. **Tính tỉ lệ của thiết diện**:
Dựa vào tỉ lệ \(k = \frac{S1}{SO} = \frac{m}{h} = \frac{\frac{2}{5} h_S}{h_S} = \frac{2}{5}\), ta có thiết diện khi mặt phẳng cắt chóp là một hình thang có cùng tỉ lệ.

4. **Tính diện tích của thiết diện**:
Diện tích thiết diện \(S\) có thể tính bằng công thức:
\[
S = k^2 S_{ABCD}
\]
Diện tích đáy \(S_{ABCD}\) của hình thang được tính bằng:
\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(11 + 7) \cdot 1}{2} = 9
\]
Do đó:
\[
S = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot 9 = \frac{4}{25} \cdot 9 = \frac{36}{25}
\]

Tóm lại, diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((\alpha)\) và hình chóp \(S-ABCD\) là \(\frac{36}{25}\).