Để xác định góc của hai đường thẳng \( KJ \) và \( BD \) trong hình chóp \( S.ABCD \) với đáy \( ABCD \) là hình vuông, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Thể hiện các tọa độ**:
- Giả sử \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \), và \( S\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) \) với \( h \) là chiều cao của chóp.

2. **Tìm tọa độ các điểm trung gian**:
- \( I \) (trung điểm \( AB \)): \( I\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \)
- \( J \) (trung điểm \( BC \)): \( J\left(a, \frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( K \) (trung điểm \( SB \)): \( K\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{h}{2}\right) \)

3. **Tìm phương trình vector của hai đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng \( KJ \) có vector hướng:
\[
\overrightarrow{KJ} = J - K = \left(a - \frac{3a}{4}, \frac{a}{2} - \frac{a}{4}, 0 - \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, -\frac{h}{2}\right)
\]
- Đoạn thẳng \( BD \) có vector hướng:
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0)
\]

4. **Tính góc giữa hai vector**:
- Sử dụng công thức dot product:
\[
\overrightarrow{KJ} \cdot \overrightarrow{BD} = \left(\frac{a}{4}\right)(-a) + \left(\frac{a}{4}\right)(a) + \left(-\frac{h}{2}\right)(0) = -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 0
\]
- Do đó, cosine của góc giữa hai vector là:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{KJ} \cdot \overrightarrow{BD}}{||\overrightarrow{KJ}|| \cdot ||\overrightarrow{BD}||} = 0
\]
- Điều này nghĩa là \( \theta = 90^\circ \).

### Kết luận:
Góc giữa hai đường thẳng \( KJ \) và \( BD \) là \( 90^\circ \).