Bài 3:
a) So sánh 3^202 và 2^300:

Để so sánh hai số này, ta có thể đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Tuy nhiên, việc đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ trong trường hợp này khá phức tạp. Thay vào đó, ta có thể so sánh qua việc so sánh từng lũy thừa:

Cách 1: So sánh từng lũy thừa:

Ta có: 3^4 = 81 > 16 = 2^4.
Vì 202 chia hết cho 4 và 300 chia hết cho 4 nên ta có thể chia cả hai số mũ cho 4:
3^202 = (3^4)^50 = 81^50
2^300 = (2^4)^75 = 16^75
Vì 81^50 > 16^75 nên 3^202 > 2^300.
Cách 2: Sử dụng logarit (nếu đã học):

Lấy logarit cơ số 10 của cả hai vế:
log(3^202) = 202*log(3) ≈ 95.5
log(2^300) = 300*log(2) ≈ 90.3
Vì 95.5 > 90.3 nên 3^202 > 2^300.
Kết luận: 3^202 lớn hơn 2^300.

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 3 và chia cho 19 dư 14:

Đây là bài toán tìm số tự nhiên đồng dư. Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lý số dư Trung Quốc. Tuy nhiên, việc áp dụng định lý này khá phức tạp. Thay vào đó, ta có thể giải theo cách sau:

Gọi số cần tìm là x.
Từ đề bài, ta có hệ phương trình đồng dư:
x ≡ 6 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 14 (mod 19)
Giải hệ phương trình đồng dư này, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của x.
Cách giải chi tiết bằng phương pháp thử và sai hoặc sử dụng máy tính:

Bắt đầu từ số 14 (số dư lớn nhất), ta lần lượt cộng thêm bội chung nhỏ nhất của 11, 4 và 19 cho đến khi tìm được số thỏa mãn cả ba điều kiện.
Lưu ý: Việc tìm số tự nhiên nhỏ nhất trong bài toán này có thể khá tốn thời gian nếu làm thủ công. Có thể sử dụng máy tính hoặc các phần mềm tính toán để tìm nhanh hơn.

Bài 4:
a) Hỏi A có chia hết cho 2 không? A có chia hết cho 7 không?

A = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2023
Ta thấy tất cả các số hạng của A đều chia hết cho 2 (trừ số 1). Do đó, A chia cho 2 dư 1 và không chia hết cho 2.
Để kiểm tra xem A có chia hết cho 7 không, ta có thể tính tổng các số hạng của A theo modulo 7. Tuy nhiên, cách tính này khá phức tạp.
b) Tìm chữ số tận cùng của A và hỏi A + 2023 có là số chính phương không?

Tìm chữ số tận cùng của A:
Ta thấy các chữ số tận cùng của các lũy thừa của 2 lặp lại theo chu kỳ 4: 2, 4, 8, 6.
Vì 2023 chia 4 dư 3 nên chữ số tận cùng của 2^2023 là 8.
Do đó, chữ số tận cùng của A là 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 8 (có 506 số 8) = 1 + 8*506 = 4049.
Vậy chữ số tận cùng của A là 9.
Kiểm tra A + 2023 có là số chính phương không:
A + 2023 có chữ số tận cùng là 9 + 3 = 12.
Một số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 2.
Vậy A + 2023 không phải là số chính phương.
Kết luận:

A không chia hết cho 2.
Việc A có chia hết cho 7 hay không cần tính toán thêm.
Chữ số tận cùng của A là 9.
A + 2023 không phải là số chính phương.