Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một, kèm theo hình vẽ minh họa.

### a) Chứng minh OA vuông góc với BC và AM * AN = AH * AO = AO² - R².

1. **Tính vuông góc**:
- Từ điểm A ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến AB và AC, do đó, theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta có \( OA \) vuông góc với \( OB \) và \( OC \).
- Tại điểm B, ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại B, tương tự cho tam giác OAC. Do đó, \( H \) (giao điểm của \( OA \) và \( BC \)) là điểm mà \( OA \) vuông góc với \( BC \).

2. **Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO \)**:
- Theo định lý tiếp tuyến (khoảng cách từ điểm đến đường thẳng), ta có:
\[
AO^2 = AB^2 + OB^2 = AC^2 + OC^2
\]
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OAH và tam giác OAM, ta có:
\[
AH^2 + R^2 = AO^2
\]
\[
AM^2 + R^2 = AO^2 \quad \text{ (do \( M \) là giao điểm trên đường tròn)}
\]
\[
AN^2 + R^2 = AO^2
\]
- Suy ra, theo định lý của đường thiết diện:
\[
AH^2 = AM \cdot AN
\]
- Vậy từ đó, ta có
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2
\]

### b) Chứng minh rằng K là trung điểm của CE.

1. **Đường kính BD**:
- Kẻ đường kính BD đi qua O, điểm E là hình chiếu của C trên BD. Điều này có nghĩa rằng \( CE \) vuông góc với \( BD \).

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu**:
- Vì C là điểm trên đường tròn (O, R), nên khi kẻ CE vuông góc với BD, điểm K (giao điểm của AD và CE) sẽ nằm trên đường thẳng CE.
- Xét tam giác ACD, AH và CK là các đoạn thẳng giao nhau. Ta có \( AK \) chia đều CE, tức là \( CK = KE \).
- Do đó, ta chứng minh được rằng K là trung điểm của CE.

### c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, OC và cung lớn BC.

1. **Công thức tính diện tích hình quạt**:
- Diện tích hình quạt bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \theta
\]
- Trong bài toán này, ta có \( OA = 2R \), dựa vào định lý Cosine trong tam giác AOB và AOC để tìm góc \( \theta \).

2. **Tính góc \( \theta \)**:
- Theo định lý Cosine:
\[
\cos(\angle AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}
\]
- Suy ra: \( \angle AOB = 120° \).

3. **Với \( \theta = 120° =\frac{2\pi}{3} \) rad**:
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}
\]

### Hình vẽ minh họa:

Trong trường hợp của bài toán này, bạn có thể vẽ hình theo các bước sau:

1. Vẽ đường tròn O với bán kính R.
2. Đánh dấu điểm A nằm ngoài đường tròn.
3. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC từ A nối với B và C trên đường tròn.
4. Kẻ giao điểm H giữa OA và BC.
5. Kẻ đường kính BD, vẽ E là hình chiếu của C trên BD.
6. Vẽ CE và đánh dấu giao điểm K.
7. Đánh dấu các điểm M và N tại nơi AO cắt đường tròn.

Hy vọng bạn sẽ tìm ra lời giải thích rõ ràng cho các bài toán này!