Cho tam giác AMN có 3 góc nhọn (AM

Để chứng minh các tính chất của các tứ giác trong bài toán, chúng ta có thể phân tích từng phần một cách cụ thể.

### a) Chứng minh tứ giác AMKN là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác AMKN là một hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau hoặc hai cặp góc đối diện bằng nhau.

1. **Xác định các điểm:**
- I là trung điểm của MN, do đó MI = IN.
- K là điểm trên tia AI sao cho I là trung điểm của AK, nghĩa là AI = IK.

2. **Cạnh đối diện:**
- Xét cặp cạnh AM và KN:
- Từ định nghĩa, I là trung điểm của MN. Vậy:
\[
MI + IN = MN
\]
Vì MI = IN, suy ra MN là một đoạn thẳng được chia đều.

3. **Cặp cạnh còn lại:**
- Xét cặp cạnh AK và MI:
- Chúng ta có I là trung điểm của AK nên:
\[
AI = IK
\]
Hay nói cách khác, chiều dài của AM và NK cũng bằng nhau.

4. **Kết luận:**
Do AM = KN và AK = MI, nên tứ giác AMKN có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó tứ giác AMKN là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác AHNB là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AHNB là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng nó có một góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Điểm C:**
- C là trung điểm của AN, vậy AC = CN.

2. **Điểm B:**
- B là điểm đối xứng của H qua C, suy ra HC = CB. Như vậy C phân chia đoạn HB thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Xét các góc:**
- Góc AHN là góc vuông vì AH là đường cao của tam giác AMN, cho nên \( AH \perp MN \). Đồng thời, do H đối xứng qua C thì góc HCN cũng là góc vuông.

4. **Cạnh đối diện:**
- Từ C đến A và C đến N đều bằng nhau, tức là AC = CN.
- Từ H đến A và từ B đến N đều bằng nhau, tức là HA = BN (do H và B đối xứng qua C).

5. **Kết luận:**
Do đó, tứ giác AHNB có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và một góc vuông, nên tứ giác AHNB là hình chữ nhật.

Tóm lại, bạn đã chứng minh thành công hai phần của bài toán, khẳng định tứ giác AMKN là hình bình hành và tứ giác AHNB là hình chữ nhật.