Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần yêu cầu của bài.

### a) Tìm m để đường thẳng \( y = (m-2)x + 3 \) song song với đường thẳng \( y = 3x + 1 \)

Hai đường thẳng song song khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Đường thẳng \( y = 3x + 1 \) có hệ số góc là 3.

Do đó, ta có:

\[
m - 2 = 3 \\
m = 5
\]

### b) Tìm m để đường thẳng \( y = (m-2)x + 3 \) trùng với đường thẳng \( y = -3x \)

Hai đường thẳng trùng nhau khi hệ số góc và hệ số tự do của chúng bằng nhau. Với đường thẳng \( y = -3x \), hệ số góc là -3 và hệ số tự do là 0:

\[
m - 2 = -3 \implies m = -1 \\
3 = 0 \quad \text{(không đúng)}
\]

Vậy không có giá trị \( m \) cho trường hợp này.

### c) Tìm m để đường thẳng \( y = (m-2)x + 3 \) cắt đường thẳng \( y = x + 1 \) tại điểm có hoành độ \( x = -1 \)

Để xác định được \( m \), chúng ta cần tính tọa độ y tương ứng với \( x = -1 \):

Từ đường thẳng \( y = x + 1 \):
\[
y = -1 + 1 = 0
\]

Tại \( x = -1 \), đường thẳng \( y = (m-2)(-1) + 3 = 0 \):
\[
-(m-2) + 3 = 0 \\
m - 2 = 3 \\
m = 5
\]

### d) Nhận xét về góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng \( y = x + 1 \) có hệ số góc là 1.

Đường thẳng \( y = (m-2)x + 3 \) với \( m = 5 \) có hệ số góc là 3.

Công thức để tính góc \( \theta \) giữa hai đường thẳng có hệ số góc \( k_1 \) và \( k_2 \) là:

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2} \right|
\]

Áp dụng vào đây, với \( k_1 = 3 \) và \( k_2 = 1 \):

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{3 - 1}{1 + 3 \cdot 1} \right| = \left| \frac{2}{4} \right| = \frac{1}{2}
\]

Góc giữa hai đường thẳng không phải là 90 độ, vì \( \tan(\theta) \neq 0 \).

### Kết luận

- **a)** \( m = 5 \)
- **b)** Không có giá trị \( m \)
- **c)** \( m = 5 \)
- **d)** Góc giữa hai đường thẳng không vuông góc.