Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác góc B cắt AC tại D. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với BD tại E

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, E thuộc cùng một đường tròn.

Xét tam giác ABC vuông tại A, khi đó theo định nghĩa, đường phân giác góc B sẽ chia góc B thành hai góc bằng nhau, tức \( \angle ABD = \angle DBC \).

Điểm E được xác định là điểm trên đường thẳng từ C, vuông góc với BD. Tức là:
\[
CE \perp BD.
\]

Theo tính chất của góc phụ (vì có tam giác vuông tại A), ta có:
- \( \angle ABE = \angle ABD + \angle DBC = \angle ABD + \angle ABE = 90^\circ\).
- \( \angle CBE = 90^\circ - \angle ABD.\)

Như vậy, \( \angle ABE + \angle CBE = 90^\circ \) và \( \angle A + \angle C = 90^\circ\). Từ đó, ta có:
\[
\angle ABE + \angle AEC = 180^\circ.
\]

Vì \( E \) là điểm mà đường thẳng từ \( C \) vuông góc với \( BD \), nên bốn điểm \( A, B, C, E \) sẽ nằm trên một đường tròn với \( AEBC \) là một chu vi tròn mà bán kính qua \( B \) là \( BD \) và đường kính là \( AC \) hay \( BE \).

### b) Kẻ DK vuông góc với BC tại K. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (D, DA).

Khi kẻ DK vuông góc với BC tại K, chúng ta có:
\[
DK \perp BC.
\]

Từ đó, ta sẽ chứng minh:
\[
\angle DAB = \angle DKA.
\]

Ta có \( AC \) là chiều dài của DB và theo định nghĩa, đường kính của đường tròn \( D \) là tiếp tuyến với đường thẳng BC. Xét hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại K, mà DK vuông góc với BC khi đó là tiếp tuyến.

### c) Nếu \( \angle ACB = 30^\circ \) và \( AB = 3 \) cm. Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi (D:DA) và (D:DC).

Để tính diện tích hình vành khuyên, trước hết ta cần tính bán kính \( r_1 \) (từ D tới A) và \( r_2 \) (từ D tới C):

1. Tính độ dài DC:
- Dựa vào định lý Sin trong tam giác vuông:
\[
AC = AB \cdot \tan(ACB) = 3 \cdot \tan(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ cm}.
\]

2. Tính DA:
- DA sẽ được tính theo định lý:
\[
DA = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}.
\]

3. Tính diện tích hình vành khuyên:
\[
S = \pi \cdot r_2^2 - \pi \cdot r_1^2 = \pi (DC^2 - DA^2).
\]

Sử dụng các thông số cụ thể, thay vào công thức và tính toán cụ thể để có kết quả.

Cần lưu ý rằng các bước chứng minh được trình bày có thể linh hoạt, và tùy vào từng cách trình bày mà sẽ đưa ra những hằng số cụ thể hơn.