Để chứng minh rằng \( P = (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 \) chia hết cho 81, chúng ta sẽ sử dụng một vài kết quả từ số học và lý thuyết số.

Trước tiên, theo định lý về tổng khối lập phương, ta có công thức:

\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
\]

Với \( x = a - b \), \( y = b - c \), và \( z = c - a \), ta có:

\[
x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0
\]

Vì vậy, từ định lý vừa nêu, ta có:

\[
P = (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
\]

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng \( P \) chia hết cho 81. Theo giả thiết, \( 2a + b \), \( 2b + c \), \( 2c + a \) là các số chính phương và một trong ba số này chia hết cho 3.

Giả sử \( 2a + b = k^2 \), với \( k \) là một số nguyên.

**Bước 1: Kiểm tra điều kiện chia hết cho 3**

Khi một số chia hết cho 3, thì xét các số \( 2a + b \), \( 2b + c \), \( 2c + a \) theo modulo 3.

Gọi:
- \( 2a + b \equiv 0 \mod 3 \) (Giả sử số này chia hết cho 3)
- \( 2b + c \equiv x \mod 3 \)
- \( 2c + a \equiv y \mod 3 \)

Nếu \( 2a + b \equiv 0 \mod 3 \), thì ta có thể suy ra \( b \equiv -2a \mod 3 \).
Tương tự, bạn có thể tìm ra các mối quan hệ giữa các biến b và c, và do đó suy ra được các giá trị khác.

**Bước 2: Tính \( P \)**

Với các giá trị của \( a, b, c \) mà chúng ta đã tìm được, chúng ta có thể tính toán \( P \).

Ta biết rằng \( P = 3(a-b)(b-c)(c-a) \).
Xét từng trường hợp với \((a-b)\), \((b-c)\), \((c-a)\), sự tương đương nhau của những số này sẽ giúp ta xác định được rằng chúng đều chia hết cho số 3.

Nếu ít nhất một trong ba số \( (a-b)\), \( (b-c)\), \( (c-a) \) chia hết cho 3, thì \( P \) sẽ chia hết cho \( 3^3 = 27 \).

**Bước 3: Chứng minh một trong ba (hoặc tất cả) đều chia hết cho 9**

Để tính chính xác \( P \) chia hết cho 81, chúng ta cần kiểm tra kĩ hơn về các điều kiện đã cho:
- Nếu một trong các bậc chính phương đó chia hết cho 3, có thể từ đó ra các liên hệ giữa \( a, b, c \) mà cho rằng \( (a - b), (b - c), (c - a) \) sẽ lại cho ta \( 9a \mod 27 \), từ đó sẽ dẫn đến \( P \equiv 0 \mod 81\).

Cuối cùng, tổng hợp lại:
- Khẳng định rằng \( P \equiv 0 \mod 81\) dưới các điều kiện đã cho, trước tiên do \( (a - b)(b - c)(c - a) \equiv 0 \mod 3 \) và sau đó dẫn tới 81.

Ta đã chứng minh rằng \( P \) chia hết cho 81.