Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Trong ∆ABD, chúng ta biết rằng:

- Đoạn \(AB\) vuông góc với đoạn \(AD\) tại \(A\).
- Đoạn \(BD\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ABD\).

Tại điểm \(B\), đường thẳng vuông góc với \(AB\) là \(BC\). Tại điểm \(D\), đường thẳng vuông góc với \(AD\) là \(DC\). Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, vì \(BC \perp AB\) và \(DC \perp AD\).

### b) Chứng minh MN // AD, tính độ dài đoạn thẳng AI?

Trước hết, chúng ta có đoạn \(MD = 1.8\) cm. Để chứng minh \(MN \parallel AD\), chúng ta sử dụng định lý Thales.

- Gọi \(H\) là điểm đứng trên đường thẳng \(BD\) sao cho \(AH \perp BD\).
- Do \(M\) là trung điểm của \(DH\), nên \(DM = MH\).
- Tương tự, \(N\) là trung điểm của \(AH\), nên \(AN = NH\).

Vì \(AH \perp BD\) và \(MD \parallel AH\), ta có \(MN \parallel AD\) do cùng một góc và tương ứng.

#### Tính độ dài AI:

Trong tam giác \(ABH\), chúng ta biết rằng nếu \(H\) là điểm trên cạnh \(BD\), với \(M\) và \(N\) là trung điểm, chiều dài \(AI\) sẽ được tính theo tỉ lệ giữa hai đoạn \(MD\) và \(AH\).

Giả sử \(AH = k\). Ta biết rằng:

\[
AI = \frac{MD}{MD + AH} \times AB
= \frac{1.8}{1.8 + k} \times 8
\]

Để giải được \(k\), chúng ta cần dùng các điều kiện ở phần c).

### c) Chứng minh K là trung điểm của BC:

Gọi \(A\) là điểm bất kỳ, \(M\) là trung điểm của \(DH\), và cần chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).

Trong tam giác \(BMC\), theo định lý trung bình, ta có:

\[
AK = AM \Rightarrow K \text{ là trung điểm của } BC.
\]

Do cấu trúc hình học của chúng ta, và dựa trên định lý Thales, chúng ta có phương trình:

\[
BK = KC
\]

Bởi vì \(MN \parallel AD\), và \(MN\) cắt đoạn \(BC\) tại một điểm \(K\), từ đó suy ra rằng \(K\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

### Kết luận:

- Phần a) Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
- Phần b) Tính toán độ dài đoạn \(AI\) phụ thuộc vào giá trị \(AH\).
- Phần c) \(K\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

Kết quả chính xác cần xác nhận các tính toán cụ thể hơn khi biết được \(k\) từ các số liệu cung cấp của đề bài.