Để chứng minh các tính chất trong bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh rằng OA vuông góc với MN.

Đầu tiên, ta biết rằng AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tại các điểm M và N. Theo tính chất của tiếp tuyến, chúng ta có:

\[
OM \perp AM \quad \text{và} \quad ON \perp AN
\]

Từ đó, ta có góc OMN là góc vuông tại điểm M, và góc ONM là góc vuông tại điểm N.

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng OA vuông góc với MN. Xét tam giác OMA và ONA:

- Trong tam giác OMA, vì OM vuông góc với AM nên góc OMA = 90°.
- Trong tam giác ONA, vì ON vuông góc với AN nên góc ONA = 90°.

Ta thấy rằng các điểm M và N nằm trên cùng một đường thẳng MN, do đó:

\[
OA \perp MN
\]

Vì vậy, OA vuông góc với MN.

### b) Vẽ đường kính NOC và chứng minh rằng MC song song với AO.

Theo định nghĩa, nếu O là tâm đường tròn, N là điểm tiếp xúc, và C là điểm đối diện của N qua O, thì NOC là đường kính của đường tròn.

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng MC song song với AO.

1. M, N, O là lần lượt là các điểm tiếp xúc và trung điểm của đường tròn.
2. Từ trên, ta có OA vuông góc với MN (từ phần a).
3. Lập hình với MN là một đường thẳng. Do đó, MC (một đường thẳng chứa điểm M) sẽ tạo thành hai góc: góc AMC và angle AON.
4. Ta đã có rằng OM vuông góc với AM (từ tính chất của tiếp tuyến), và ON vuông góc với AN.

Khi NOC là đường kính, điều này sẽ tạo ra hai tam giác đối xứng qua đường thẳng OA, từ đó ta có:

\[
OC \parallel AM \text{ do đó } MC \parallel AO
\]

Vậy nên, chúng ta có thể kết luận rằng MC song song với AO.

Tóm lại:
- OA vuông góc với MN.
- MC song song với AO.