Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle ABK = \triangle EBK \) và \( AK = KE \):

1. **Tam giác ABK và EBK**:
- Cạnh \( AB \) và \( EB \) đều là đoạn thẳng nối từ điểm A và E đến điểm B.
- Góc \( BAK \) và góc \( BEK \) đều là góc chung tại điểm \( K \) (góc chung).
- Cạnh \( BK \) là cạnh chung của hai tam giác.

Từ đó, ta có:
\[
\triangle ABK \cong \triangle EBK \text{ (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh - C.G.C)}
\]

2. **Chứng minh \( AK = KE \)**:
- Từ việc \( \triangle ABK \cong \triangle EBK \), ta có \( AK = KE \) (cạnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng).

### b) Chứng minh \( EK \) vuông góc với \( BC \):

- Do \( EK \) là tia phân giác của góc \( BEC \), và vì \( ABK \cong EBK \), nên:
- Góc \( BAE = EBA \) (do tác dụng của tia phân giác, hai góc này bằng nhau).

- Do đó, tam giác \( ABE \) là tam giác cân tại \( B \). Từ đây, ta có:
- Nếu tam giác \( ABE \) là cân thì \( EK \) vuông góc với \( BC \) (vì mỗi đường phân giác trong tam giác cân sẽ vuông góc với đáy).

### c) Chứng minh \( BK \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AE \):

1. **Cách chứng minh**:
- Ta đã chứng minh rằng \( AK = KE \) (các đoạn thẳng tương ứng).
- Từ \( K \) là trung điểm của \( AE \), ta có \( AK = KE \).
- Hơn nữa, vì \( EK \) vuông góc với \( BC \) thì \( BK \) cũng vuông góc với \( AE \).

2. **Kết luận**:
- Do đó \( BK \) chia \( AE \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BK \) chính là đường trung trực của đoạn thẳng \( AE \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.