Có BD,CE lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh AC,AB ( gt )
=> D là trung điểm AC
 và E là trung điểm AB
=> DE là đưởng trung bình của tam giác ABC
=> DE//BC và DE=BC/2
Tam giác BGC có : M là trung điểm BG (gt)
                             N là trung điểm CG (gt)
=> MN là đường trung bình của tam giác BGC
=> MN//BC và MN=BC/2
Có MN//DE ( //BC )
=> EDM = NMD ( 2 góc so le trong )
Xét tam giác EDM và tam giác NMD có :
ED=MN ( =BC/2)
EDM = NMD ( cmt )
MD chung
=> tam giác EDM = tam giác NMD ( c.g.c )
=>EM=ND ( 2 cạnh tương ứng )
và EMD = NDM ( 2 góc tương ứng )
mà hai góc này ở vị trí so le trong
=>EM//DN
Tứ giác EMDN có :
EM//DN(cmt) và EM=DN(cmt)
ED//MN(//BC) và ED=MN(=BC/2)

Xét tam giác ABC có :
E là trung điểm AB
d là trung điểm AC
=>DE là đường trung bình tam giác ABC
=>DE = 1/2BC , DE // BC (1)
Xét tam giác GBC có:
M là trung điểm GB
N là trung điểm GC
=> MN = 1/2BC , MN // BC (2)
Từ (1) (2) => Tứ giác MNDE là hình bình hành
=> DE // MN , DE= MN